1 reply to this topic

[Minhnguyenthe333]

Cho $(x;y)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+y=a+1\\ x^2+y^2=5-2a-a^2\end{matrix}\right.$.Tìm $GTNN$ của biểu thức: $F=xy+2(x+y)$

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $(x;y)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+y=a+1\\ x^2+y^2=5-2a-a^2\end{matrix}\right.$.Tìm $GTNN$ của biểu thức: $F=xy+2(x+y)$

Từ hệ phương trình ta có :

$2xy=(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})=a^{2}+2a+1-5+2a+a^{2}=2a^{2}+4a-4$

Hay : $xy=a^{2}+2a-2$ kết hợp $x+y=a+1$ . Khi đó $F=a^{2}+2a-2+2(a+1)=a^{2}+4a$

Suy ra $x$ và $y$ là nghiệm của phương trình $X^{2}-(a+1)X+(a^{2}+2a-2)=0$

 

Để phương trình có nghiệm ( hay tồn tại nghiệm $x;y$ ) thì $\Delta = (a+1)^{2}-4(a^{2}+2a-2) \geq 0$

Tương đương : $-3a^{2}-6a+9 \geq 0<=>a^{2}+2a-3 \leq 0<=>-3 \leq a \leq 1 $

 

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $f(a)=a^{2}+4a$ trên $[-3;1]$

Ta có : $f(a)=(a+2)^{2}-4 \geq 0$ . Dấu bằng khi $a=-2$

 

Vậy $Min$ $F=-2$ với $a=-2$ thay vào phương trình biến $X$ ta có : $X^{2}+X=0$ Suy ra hai nghiệm của phương trình

Hay $(x;y)$ nhận các giá trị $(-1;0)$ hoặc $(0;-1)$

Edited by Quoc Tuan Qbdh, 07-12-2015 - 18:58.