Chủ đề này có 2 trả lời

[ThachAnh]

1. Cho x,y,z không âm t/m: $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ . Cm:  x+y+z $ \leq$ xyz+2

2. Cho $ A=x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3}$ với x,y không âm và x+y=2012. Tìm GTNN của A

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThachAnh: 12-12-2015 - 05:10

[NTA1907]

Cho x,y,z không âm t/m: $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ . Cm:  x+y+z $ \leq$ xyz+2

$x+y+z\leq xyz+2 \Leftrightarrow x+y+z(1-xy)\leq 2$ 

Ta có: $(x+y+z(1-xy))^{2}\leq \left [ (x+y)^{2}+z^{2} \right ]\left [ 1+(1-xy)^{2} \right ]=(2+2xy)(2-2xy+x^{2}y^{2})\leq 4$ 

$\Leftrightarrow 2x^{2}y^{2}(xy-1)\leq 0$ 

Mà $xy\leq \frac{x^{2}+y^{2}}{2}=\frac{2-z^{2}}{2}\leq 1$ 

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=1, z=0$

[PlanBbyFESN]

Từ gt $\Rightarrow x,y,z\leq 1$ hoặc trong x,y,z có duy nhất 1 số >1.

TH1: $x,y,z\leq 1$ $\Rightarrow (x-1)(y-1)\geq 0\Rightarrow xy+z+1\geq x+y+z$ 

cần c/m: xyz+2$\geq xy+z+1 \Leftrightarrow (xy-1)(z-1)\geq 0$ luôn đúng

TH2: Giả sử x>1:

(x+y+z)²$2(x^{2}+(y+z)^{2})=2\left ( 2+2yz \right )$

Cần c/m: (xyz+2)²$\geq 2(2+2yz)\Leftrightarrow yz(x^{2}yz+4x-4)\geq 0$ luôn đúng

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1; z=0$ và các hoán vị