Chủ đề này có 4 trả lời

[longatk08]

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2}$$

 

Spoiler

Bài toán này khá đẹp nên các bạn cố gắng dùng những công cụ sơ cấp nhất, nhẹ nhàng nhất nhé...Đừng cố lôi dao mổ trâu để giết gà!  

[viet nam in my heart]

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2}$$

 

Spoiler

Bài toán này khá đẹp nên các bạn cố gắng dùng những công cụ sơ cấp nhất, nhẹ nhàng nhất nhé...Đừng cố lôi dao mổ trâu để giết gà!  

Bài này có thể giải bằng $SOS$. Ở đây em xin trình bày lại một lời giải bằng $Cauchy \, Schwarz$

$\sum \dfrac{a}{b+c} \geq \dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{b+c} -\dfrac{3}{2} \geq \dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}-1$

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)} \geq \dfrac{\sum \left(a-b\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}$

-Nếu $a=b=c$ bất đẳng thức đúng

-Nếu $\sum \left(a-b\right)^2 >0$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy \, Schwarz$ ta có:

$\sum \dfrac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\geq  \dfrac{\left[\sum \left(a-b\right) \right]^2}{2\sum\left(a-b\right)^2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $\left(a+b+c\right)^2\left(\sum \left(a-b\right)^2\right) \geq \sum 2\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)^2$

$\Leftrightarrow \sum a^2\left(a-b\right)\left(a-c\right)$(Luôn đúng theo Bất đẳng thức $Schur$ ) 

[Gachdptrai12]

Cái chỗ (a+b+c)^2 ((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ) >= VP là sao z mình ko hỉu chỗ biến đổi đó

[longatk08]

Bài này có thể giải bằng $SOS$. Ở đây em xin trình bày lại một lời giải bằng $Cauchy \, Schwarz$

$\sum \dfrac{a}{b+c} \geq \dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{b+c} -\dfrac{3}{2} \geq \dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}-1$

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)} \geq \dfrac{\sum \left(a-b\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}$

-Nếu $a=b=c$ bất đẳng thức đúng

-Nếu $\sum \left(a-b\right)^2 >0$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy \, Schwarz$ ta có:

$\sum \dfrac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\geq  \dfrac{\left[\sum \left(a-b\right) \right]^2}{2\sum\left(a-b\right)^2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $\left(a+b+c\right)^2\left(\sum \left(a-b\right)^2\right) \geq \sum 2\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)^2$

$\Leftrightarrow \sum a^2\left(a-b\right)\left(a-c\right)$(Luôn đúng theo Bất đẳng thức $Schur$ ) 

 Nếu để ý thì bài toán này là 1 bổ đề khá hữu ích, ví dụ khi làm yếu đi BĐT sau:

 

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{5}{2}$$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 23-12-2015 - 16:21

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2}$$

 

Spoiler

Bài toán này khá đẹp nên các bạn cố gắng dùng những công cụ sơ cấp nhất, nhẹ nhàng nhất nhé...Đừng cố lôi dao mổ trâu để giết gà!  

 

Ta viết bất đẳng thức lại dưới dạng
\[(a+b+c)\left (\frac{1}{a + b}+\frac{1}{b + c}+\frac{1}{c + a}  \right )+ \frac{6(ab + bc + ca)}{(a+b+c)^2} \geq \frac{13}{2},\]
hay là
\[\frac{(a+b+c)^3+(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}+\frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \ge \frac{13}{2}. \quad (1)\]
Chuẩn hóa $a+b+c=3$ và đặt $ab+bc+ca=3-3t^2$ với $0 \le t < 1,$ bất đẳng thức $(1)$ trở thành
\[\frac{36-9t^2}{9(1-t^2)-abc}+2(1-t^2) \ge \frac{13}{2}.\]
Với phép đặt này, ta có $abc \geqslant (1-2t)(1+t)^2,$ dó đó
\[9(1-t^2)-abc \leqslant 9(1-t^2)-(1-2t)(1+t)^2=2(1+t)(t-2)^2.\]
Ta cần chứng minh
\[\frac{36-9t^2}{2(1+t)(t-2)^2}+2(1-t^2) \ge \frac{13}{2}.\]
Điều này đúng vì
\[\frac{36-9t^2}{2(1+t)(t-2)^2}+2(1-t^2) - \frac{13}{2} = \frac{(2t-1)^2t^2}{2(2-t)(1+t)} \geqslant 0.\]
Bài toán được chứng minh.

 

Nhận xét. Từ bài này ta có thể suy ra được bất đẳng thức Iran TST 1996.