Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2}$$
Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2}$$
Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2}$$
Spoiler
Bài này có thể giải bằng $SOS$. Ở đây em xin trình bày lại một lời giải bằng $Cauchy \, Schwarz$
$\sum \dfrac{a}{b+c} \geq \dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{b+c} -\dfrac{3}{2} \geq \dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}-1$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)} \geq \dfrac{\sum \left(a-b\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}$
-Nếu $a=b=c$ bất đẳng thức đúng
-Nếu $\sum \left(a-b\right)^2 >0$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy \, Schwarz$ ta có:
$\sum \dfrac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\geq \dfrac{\left[\sum \left(a-b\right) \right]^2}{2\sum\left(a-b\right)^2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh: $\left(a+b+c\right)^2\left(\sum \left(a-b\right)^2\right) \geq \sum 2\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)^2$
$\Leftrightarrow \sum a^2\left(a-b\right)\left(a-c\right)$(Luôn đúng theo Bất đẳng thức $Schur$ )
Bài này có thể giải bằng $SOS$. Ở đây em xin trình bày lại một lời giải bằng $Cauchy \, Schwarz$
$\sum \dfrac{a}{b+c} \geq \dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{b+c} -\dfrac{3}{2} \geq \dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}-1$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)} \geq \dfrac{\sum \left(a-b\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}$
-Nếu $a=b=c$ bất đẳng thức đúng
-Nếu $\sum \left(a-b\right)^2 >0$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy \, Schwarz$ ta có:
$\sum \dfrac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\geq \dfrac{\left[\sum \left(a-b\right) \right]^2}{2\sum\left(a-b\right)^2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh: $\left(a+b+c\right)^2\left(\sum \left(a-b\right)^2\right) \geq \sum 2\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)^2$
$\Leftrightarrow \sum a^2\left(a-b\right)\left(a-c\right)$(Luôn đúng theo Bất đẳng thức $Schur$ )
Nếu để ý thì bài toán này là 1 bổ đề khá hữu ích, ví dụ khi làm yếu đi BĐT sau:
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{5}{2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 23-12-2015 - 16:21
Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2}$$
Spoiler
Ta viết bất đẳng thức lại dưới dạng
\[(a+b+c)\left (\frac{1}{a + b}+\frac{1}{b + c}+\frac{1}{c + a} \right )+ \frac{6(ab + bc + ca)}{(a+b+c)^2} \geq \frac{13}{2},\]
hay là
\[\frac{(a+b+c)^3+(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}+\frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \ge \frac{13}{2}. \quad (1)\]
Chuẩn hóa $a+b+c=3$ và đặt $ab+bc+ca=3-3t^2$ với $0 \le t < 1,$ bất đẳng thức $(1)$ trở thành
\[\frac{36-9t^2}{9(1-t^2)-abc}+2(1-t^2) \ge \frac{13}{2}.\]
Với phép đặt này, ta có $abc \geqslant (1-2t)(1+t)^2,$ dó đó
\[9(1-t^2)-abc \leqslant 9(1-t^2)-(1-2t)(1+t)^2=2(1+t)(t-2)^2.\]
Ta cần chứng minh
\[\frac{36-9t^2}{2(1+t)(t-2)^2}+2(1-t^2) \ge \frac{13}{2}.\]
Điều này đúng vì
\[\frac{36-9t^2}{2(1+t)(t-2)^2}+2(1-t^2) - \frac{13}{2} = \frac{(2t-1)^2t^2}{2(2-t)(1+t)} \geqslant 0.\]
Bài toán được chứng minh.
Nhận xét. Từ bài này ta có thể suy ra được bất đẳng thức Iran TST 1996.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh