Cho $a,b,c> 0$ và $ab+bc+ca=1$
Chứng minh rằng:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
Cho $a,b,c> 0$ và $ab+bc+ca=1$
Chứng minh rằng:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$. Khi đó ta có $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$ nên $a^2+b^2+c^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geqslant \dfrac{2a^2+b^2+c^2}{(a+b)(a+c)}$
Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{2a^2+b^2+c^2}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant 2\Leftrightarrow (b+c-2a)(b-c)^2\geqslant 0$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Cho $a,b,c> 0$ và $ab+bc+ca=1$
Chứng minh rằng:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
Bài này mình dùng pqr
Đặt $a+b+c=p$ ; $ab+bc+ca=q$ , $abc=r$
Theo giả thiết đề bài Suy ra $q=1$
Bất đẳng thức tương đương với
$p^2 - 2q + \frac{8r}{pq-r} \geq 4$
$<=> p^2 -2 + \frac{8r}{2p-r} \geq 4$
$<=> r \geq \frac{8p-2p^3}{12-p^2}$
Mặt khác theo bất đẳng thức schur bậc 3, ta có
$r \geq \frac{4p-p^3}{9}$
Do đó, ta cần chứng minh
$ \frac{4p-p^3}{9} \geq \frac{8p-2p^3}{12-p^2}$
$<=> (p^2+6)(p^2-4) \geq 0 $
Ta cần chứng minh $p>=2$ ( Đúng do AM-GM)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $c=0, a=b$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 14-12-2015 - 13:13
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh