Chủ đề này có 2 trả lời

[Math Hero]

Cho $a,b,c> 0$ và $ab+bc+ca=1$

Chứng minh rằng:

                             $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

[dogsteven]

Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$. Khi đó ta có $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$ nên $a^2+b^2+c^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geqslant \dfrac{2a^2+b^2+c^2}{(a+b)(a+c)}$

Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{2a^2+b^2+c^2}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant 2\Leftrightarrow (b+c-2a)(b-c)^2\geqslant 0$

[superpower]

Cho $a,b,c> 0$ và $ab+bc+ca=1$

Chứng minh rằng:

                             $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

Bài này mình dùng pqr

Đặt $a+b+c=p$ ; $ab+bc+ca=q$ , $abc=r$

Theo giả thiết đề bài Suy ra $q=1$

Bất đẳng thức tương đương với

$p^2 - 2q + \frac{8r}{pq-r} \geq 4$

$<=> p^2 -2 + \frac{8r}{2p-r} \geq 4$

$<=> r \geq \frac{8p-2p^3}{12-p^2}$

Mặt khác theo bất đẳng thức schur bậc 3, ta có

$r \geq \frac{4p-p^3}{9}$

Do đó, ta cần chứng minh

$ \frac{4p-p^3}{9} \geq \frac{8p-2p^3}{12-p^2}$

$<=> (p^2+6)(p^2-4) \geq 0 $ 

Ta cần chứng minh $p>=2$ ( Đúng do AM-GM)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $c=0, a=b$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 14-12-2015 - 13:13