Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangson2598]

Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\geq 1$

[haichau0401]

Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức bu-nhi cho mẫu ta đc:

$\left ( y+\sqrt{xz}+z \right )^{2}\leq \left ( y+x+x \right )\left ( y+z+\frac{z^{2}}{x} \right )=\frac{\left ( 2x^{2}+xy \right )\left ( xy+xz+z^{2} \right )}{x^{2}}$

$\Rightarrow \frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{xy}+x)^2}\geq \frac{x^2}{xy+xz+z^2}$

Đến đây dụng bất đẳng thức Svac là ra.