Cho $a,b$ thực thỏa mãn $a(a-2)+b(b-2)=0$
Tìm $minP=\sqrt{a^2+(b-1)^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}$
$minP=\sqrt{a^2+(b-1)^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}$
#1
Đã gửi 14-12-2015 - 22:05
#2
Đã gửi 15-12-2015 - 07:37
- buibichlien yêu thích
#3
Đã gửi 15-12-2015 - 22:27
Áp dụng C-S, $\sqrt{a^{2}+(b-1)^{2}}.\sqrt{2}\geq a+1-b$$\sqrt{b^{2}+(a-1)^{2}}.\sqrt{2}\geq b+1-a$$\rightarrow P.\sqrt{2}\geq a+1-b+b+1-a=2 \rightarrow P\geq \sqrt{2}$Đẳng thức xảy ra khi $a+b=1$ và a(a-2)+b(b-2)=0
Kết hợp dấu bằng xảy ra khi $a+b=1$ và $a^2+b^2=2(a+b)$
$\rightarrow a=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ và $b=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$ (hoặc ngược lại)
Thử lại giá trị $P=\sqrt{2}$ $???$
Làm theo cách này dấu bằng không xảy ra bạn ạ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buibichlien: 15-12-2015 - 22:29
#4
Đã gửi 16-12-2015 - 07:05
#5
Đã gửi 16-12-2015 - 13:34
Tại sao vậy,đó chính là cực trị lời giải chỉ ra mà
Khi bạn tìm giá trị $min$ của $A=x^2+1$, rõ ràng là $A\geq 0$ đấy thôi, nhưng dấu bằng không xảy ra trên tập thực. Thì làm sao gọi là $minA=0$ được.
#6
Đã gửi 16-12-2015 - 14:51
Áp dụng BĐT Mincowski ta có
$P \geq \sqrt{(2a-1)^{2}+(2b-1)^{2}}=\sqrt{2(a^{2}+b^{2}+1)} \geq \sqrt{2}$
Dấu bằng tại $a=b=0$
đợi mình xem lại xí
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvptdhv: 16-12-2015 - 14:55
- tpctnd và buibichlien thích
visit my FB: https://www.facebook...uivanphamtruong
<Like > thay cho lời cảm ơn nhé = )
#7
Đã gửi 16-12-2015 - 14:56
#8
Đã gửi 16-12-2015 - 21:05
Cho $a,b$ thực thỏa mãn $a(a-2)+b(b-2)=0$
Tìm $minP=\sqrt{a^2+(b-1)^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}$
$a^2+(b-1)^2=2a+1\ge 0\Rightarrow a\ge -\dfrac{1}{2}$
Tương tự $b\ge -\dfrac{1}{2}$
+ $P=\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}$
+ Đặt $x=a+b;y=ab\Rightarrow x^2-2x=2y$.
+
$\begin{align*} P^2&=2a+2b+2+2\sqrt{(2a+1)(2b+1)}\\ &=2x+2+2\sqrt{4y+2x+1}\\ &=2x+2+2\sqrt{2x+1+(2x^2-2x)} \end{align*}$
Do $a^2+b^2=2(a+b)=2x\ge 0$ nên $x\ge 0$
Khảo sát hàm số $f(x)\ge f(0)=4$
$P\ge 2$, dấu = khi $a=b=0$.
- bvptdhv và buibichlien thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#9
Đã gửi 19-12-2015 - 18:39
Cho $a,b$ thực thỏa mãn $a(a-2)+b(b-2)=0$
Tìm $minP=\sqrt{a^2+(b-1)^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}$
sử dụng bđt $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+\left ( b+d \right )^{2}}$
(dễ dàng chứng minh : sử dụng bđt Cauchy-Schwarz)
Áp dụng vào bài thì có
P=$\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}\geq \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ đề bạn ra thế nào ấy ??
- CaptainCuong và buibichlien thích
#10
Đã gửi 19-12-2015 - 19:34
sử dụng bđt $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+\left ( b+d \right )^{2}}$
(dễ dàng chứng minh : sử dụng bđt Cauchy-Schwarz)
Áp dụng vào bài thì có
P=$\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}\geq \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ đề bạn ra thế nào ấy ??
Đấy là do bđt còn có điều kiện ràng buộc $a(a-2)+b(b-2)=0$ nên không thể dễ dàng làm thế được.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh