Chủ đề này có 1 trả lời

[thuylinh284]

 Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR: $(a-b)(b-c)(c-a)\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 16-12-2015 - 20:15

[phamngochung9a]

cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3. CMR: (a-b)(b-c)(c-a)$\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta sẽ cm BĐT mạnh hơn như sau:

$\left | (a-b)(b-c)(c-a) \right |\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$   

BĐT trên có vai trò $a,b,c$ như nhau nên ta có thể giả sử $a\geq b\geq c$, BĐT trở thành

$(a-b)(b-c)(a-c)\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có:$(a-b)(b-c)(a-c)\leq ab(a-b)$, vì $a+b\leq 3\Rightarrow a\leq 3-b$

vậy $VT\leq ab(a-b)\leq b(3-b)(3-2b)=2b^{3}-9b^{2}+9b$

Xét hàm số $f(t)=2t^{3}-9t^{2}+9t$ trên $\left [ 0;3 \right ]$, ta có:

$f'(t)=6t^{2}-18t+9=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=\frac{3+\sqrt{3}}{2} & \\ t=\frac{3-\sqrt{3}}{2} & \end{bmatrix}$

Lập bảng biến thiên, ta được:

$f(t)\leq f\left ( \frac{3-\sqrt{3}}{2} \right )=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

BĐT được chứng minh, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} b=\frac{3-\sqrt{3}}{2} & & \\ a=\frac{3+\sqrt{3}}{2} & & \\ c=0 & & \end{matrix}\right.$