Tìm $n$ nguyên dương để:
$$n! \vdots (n^2+1) $$
n^2+1|n!
#1
Đã gửi 13-02-2005 - 17:56
- Ham học toán hơn, IloveMaths, LNH và 7 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 01-04-2014 - 20:54
Giải: Xét phương trình $x^{2}-5y^{2}=-1$(Phương trình pell loại 2)
Ta có nghiệm nhỏ nhất là (9;4)
Vậy áp dụng công thức ta có hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} u^{2}+5v^{2}=9 & \\ 2uv=4 & \end{matrix}\right.$ suy ra u=2 và v=1
Suy ra phương trình trên có nghiệm là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n};$
$y_{0}=1;y_{1}=17;y_{n+2}=18y_{n+1}-y_{n}$
Xét $5< y_{k}< 2y_{k}.$; $y_{k}>5\Rightarrow 4y_{k}^{2}<5y_{k}^{2}-1=x_{k}^{2}$
Vậy $5< y_{k}< 2y_{k}< x_{k}$
Vậy $x_{k}!\vdots (5y_{k}2y_{k})=(2x_{k}^{2}+1)$ suy ra $x_{k}!\vdots (x_{k}^{2}+1)$
Vậy nghiệm của phương trình trên là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$
- hxthanh yêu thích
#3
Đã gửi 01-04-2014 - 21:38
Giải: Xét phương trình $x^{2}-5y^{2}=-1$(Phương trình pell loại 2)
Ta có nghiệm nhỏ nhất là (9;4)
Vậy áp dụng công thức ta có hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} u^{2}+5v^{2}=9 & \\ 2uv=4 & \end{matrix}\right.$ suy ra u=2 và v=1
Suy ra phương trình trên có nghiệm là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n};$
$y_{0}=1;y_{1}=17;y_{n+2}=18y_{n+1}-y_{n}$
Xét $5< y_{k}< 2y_{k}.$; $y_{k}>5\Rightarrow 4y_{k}^{2}<5y_{k}^{2}-1=x_{k}^{2}$
Vậy $5< y_{k}< 2y_{k}< x_{k}$
Vậy $x_{k}!\vdots (5y_{k}2y_{k})=(2x_{k}^{2}+1)$ suy ra $x_{k}!\vdots (x_{k}^{2}+1)$
Vậy nghiệm của phương trình trên là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$
cái này chỉ chứng minh được có vô số số tự nhiên $n$ thỏa mãn thôi bạn
- buiminhhieu yêu thích
#4
Đã gửi 03-04-2014 - 08:02
cái này chỉ chứng minh được có vô số số tự nhiên $n$ thỏa mãn thôi bạn
có mà bạn
cuối cùng mình suy ra được xk! chia hết cho xk^2+1
- chanhquocnghiem yêu thích
#5
Đã gửi 03-04-2014 - 10:51
Giải: Xét phương trình $x^{2}-5y^{2}=-1$(Phương trình pell loại 2)
Ta có nghiệm nhỏ nhất là (9;4)
Vậy áp dụng công thức ta có hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} u^{2}+5v^{2}=9 & \\ 2uv=4 & \end{matrix}\right.$ suy ra u=2 và v=1
Suy ra phương trình trên có nghiệm là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n};$
$y_{0}=1;y_{1}=17;y_{n+2}=18y_{n+1}-y_{n}$
Xét $5< y_{k}< 2y_{k}.$; $y_{k}>5\Rightarrow 4y_{k}^{2}<5y_{k}^{2}-1=x_{k}^{2}$
Vậy $5< y_{k}< 2y_{k}< x_{k}$
Vậy $x_{k}!\vdots (5y_{k}2y_{k})=(2x_{k}^{2}+1)$ suy ra $x_{k}!\vdots (x_{k}^{2}+1)$
Vậy nghiệm của phương trình trên là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$
$x_{0}=2$ rõ ràng là không nghiệm đúng.
Vậy dãy số thỏa mãn ĐK đề bài là :
$x_{1}=38$ ; $x_{2}=682$ ; $x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$
Đặt $x_{n}=p\alpha ^n-q\beta ^n$
$\Rightarrow p\alpha ^{n+2}-q\beta ^{n+2}=18(p\alpha ^{n+1}-q\beta ^{n+1})-(p\alpha ^n-q\beta ^n)$
$\Rightarrow p\alpha ^{n+2}-q\beta ^{n+2}=p\alpha ^n(18\alpha -1)-q\beta ^n(18\beta -1)$
$\Rightarrow \alpha ,\beta$ là các nghiệm của phương trình $z^2-18z+1=0$
Chọn $\alpha =9+4\sqrt{5}$ ; $\beta =9-4\sqrt{5}$
$x_{1}=38\Rightarrow (9+4\sqrt{5})p-(9-4\sqrt{5})q=38$ (1)
$x_{2}=682\Rightarrow (9+4\sqrt{5})^2p-(9-4\sqrt{5})^2q=682$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow p=\frac{\sqrt{5}+2}{2}$ ; $q=\frac{\sqrt{5}-2}{2}$
Vậy dãy $x_{n}=\frac{1}{2}\left [ (\sqrt{5}+2)(9+4\sqrt{5})^n-(\sqrt{5}-2)(9-4\sqrt{5})^n \right ]$ thỏa mãn ĐK đề bài.
(Ngoài dãy trên, còn nhiều dãy khác cũng thỏa mãn ĐK đề bài)
- anhminhkhon yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#6
Đã gửi 03-04-2014 - 20:30
Mình chỉ có thể chỉ ra một dãy thôi không biết có được điểm không
Mà nếu viết hết các dãy ra thì nhiều quá
#7
Đã gửi 03-04-2014 - 20:32
$x_{0}=2$ rõ ràng là không nghiệm đúng.
Vậy dãy số thỏa mãn ĐK đề bài là :
$x_{1}=38$ ; $x_{2}=682$ ; $x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$
Đặt $x_{n}=p\alpha ^n-q\beta ^n$
$\Rightarrow p\alpha ^{n+2}-q\beta ^{n+2}=18(p\alpha ^{n+1}-q\beta ^{n+1})-(p\alpha ^n-q\beta ^n)$
$\Rightarrow p\alpha ^{n+2}-q\beta ^{n+2}=p\alpha ^n(18\alpha -1)-q\beta ^n(18\beta -1)$
$\Rightarrow \alpha ,\beta$ là các nghiệm của phương trình $z^2-18z+1=0$
Chọn $\alpha =9+4\sqrt{5}$ ; $\beta =9-4\sqrt{5}$
$x_{1}=38\Rightarrow (9+4\sqrt{5})p-(9-4\sqrt{5})q=38$ (1)
$x_{2}=682\Rightarrow (9+4\sqrt{5})^2p-(9-4\sqrt{5})^2q=682$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow p=\frac{\sqrt{5}+2}{2}$ ; $q=\frac{\sqrt{5}-2}{2}$
Vậy dãy $x_{n}=\frac{1}{2}\left [ (\sqrt{5}+2)(9+4\sqrt{5})^n-(\sqrt{5}-2)(9-4\sqrt{5})^n \right ]$ thỏa mãn ĐK đề bài.
(Ngoài dãy trên, còn nhiều dãy khác cũng thỏa mãn ĐK đề bài)
Cái dãy này là dãy số hạng tổng quát thôi mà cũng không khác dãy cũ đâu
#8
Đã gửi 04-04-2014 - 20:29
Cái dãy này là dãy số hạng tổng quát thôi mà cũng không khác dãy cũ đâu
Khác ở chỗ không có số hạng $x_{0}=2$.
Tiện đây, xin nêu thêm một dãy số khác (cũng tìm được bằng cách tương tự).
$x_{k}=\frac{k^2+15k+60}{2}$ với $k$ là số nguyên từ $1$ đến $4$
(Đây là một dãy số hữu hạn có $4$ số hạng mà tất cả các số hạng của nó đều thỏa mãn ĐK bài toán)
- anhminhkhon yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#9
Đã gửi 04-04-2014 - 21:02
Khác ở chỗ không có số hạng $x_{0}=2$.
Tiện đây, xin nêu thêm một dãy số khác (cũng tìm được bằng cách tương tự).
$x_{k}=\frac{k^2+15k+60}{2}$ với $k$ là số nguyên từ $1$ đến $4$
(Đây là một dãy số hữu hạn có $4$ số hạng mà tất cả các số hạng của nó đều thỏa mãn ĐK bài toán)
Vậy thì sẽ có rất nhiều dãy
Bạn có thể tìm ra được dãy tổng quát nhất không
#10
Đã gửi 04-04-2014 - 21:11
Vậy thì sẽ có rất nhiều dãy
Bạn có thể tìm ra được dãy tổng quát nhất không
Không có dãy tổng quát nhất.Nói cách khác là nếu ta đưa tất cả các số $n$ thỏa mãn ĐK bài toán vào trong một dãy duy nhất (theo một thứ tự nào đó) thì không thể lập được công thức số hạng tổng quát (dãy đó chỉ có thể nêu ra bằng cách ... liệt kê tất cả mọi số hạng)
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh