Cho: $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $\sum \frac{x}{y^{2}+z^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
Cho: $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $\sum \frac{x}{y^{2}+z^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
Cho: $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $\sum \frac{x}{y^{2}+z^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
$VT=\sum \frac{x}{y^{2}+z^{2}+2}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^{2}}{3(x+y+z)-3xyz}$
Đặt $x+y+z=k$, ta có:
$VT\geq \frac{k^{2}}{3k-3xyz}$
Áp dụng BĐT quen thuộc sau:
$abc\geq \prod (a+b-c)=\prod (k-2a)=k^{3}-2k^{2}(x+y+z)+4k-8xyz\\\Rightarrow 9xyz\geq -k^{3}+4k$
Vậy $VT\geq \frac{k^{2}}{3k-\frac{-k^{3}+4k}{3}}=\frac{3k}{k^{2}+5}$ với $k\in [\sqrt{3};+\infty )$
*) Nếu $k\in \left [ \sqrt{3};\frac{5}{\sqrt{3}} \right ]$ thì
$\frac{3k}{k^{2}+5}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}\Leftrightarrow \left ( k-\sqrt{3} \right )\left ( k-\frac{5}{\sqrt{3}} \right )\leq 0$, đúng
*) Nếu $k\in \left ( \frac{5}{\sqrt{3}};+\infty \right )$ thì:
$VT\geq \frac{k^{2}}{3k-3xyz}> \frac{k^{2}}{3k}=\frac{k}{3}\geq \frac{5\sqrt{3}}{9}> \frac{3\sqrt{3}}{8}=VP$
Cả hai trường hợp, ta đều có: $VT\geq VP$, BĐT được chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 16-12-2015 - 20:05
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh