Chủ đề này có 3 trả lời

[HOANG LINH DAN]

Cho $a,b,c\in \left [ 0;1 \right ]$ thỏa $ab+bc+ca=1$. Chứng minh: $3(a+b+c)+5abc\geqslant 6$

[PlanBbyFESN]

Cho $a,b,c\in \left [ 0;1 \right ]$ thỏa $ab+bc+ca=1$. Chứng minh: $3(a+b+c)+5abc\geqslant 6$

0 $\leq a,b,c \leq$1  suy ra  (a-1)(b-1)(c-1) $\geq 0, hay  abc+a+b+c-ab-bc-ca-1 $\geq 0$

$\Rightarrow$  abc+a+b+c  $\geq$  2 do ab+bc+ca=1. Từ đó suy ra  3(abc+a+b+c) $\geq$ 6 mà  2abc $\geq$ 0 ; cộng vế theo vế suy ra đpcm.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=1 và c=0 hoặc các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 18-12-2015 - 16:19

[HOANG LINH DAN]

0 $\leq a,b,c \leq$1  suy ra  (a-1)(b-1)(c-1) $\geq 0, hay  abc+a+b+c-ab-bc-ca-1 $\geq 0$

$\Rightarrow$  abc+a+b+c  $\geq$  2 do ab+bc+ca=1. Từ đó suy ra  3(abc+a+b+c) $\geq$ 6 mà  2abc $\geq$ 0 ; cộng vế theo vế suy ra đpcm.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=1 và c=0 hoặc các hoán vị.

Sai từ đầu nhen bạn: 

$0\leqslant a,b,c\leqslant 1\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\geq 0$    (!?)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HOANG LINH DAN: 18-12-2015 - 17:22

[Minhnguyenthe333]

Cho $a,b,c\in \left [ 0;1 \right ]$ thỏa $ab+bc+ca=1$. Chứng minh: $3(a+b+c)+5abc\geqslant 6$

Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$.Áp dụng bđt Schur: $r\geqslant \frac{p(4p-q^2)}{9}=\frac{p(4-p^2)}{9}$
BĐT$<=>3p+\frac{5p(4-p^2)}{9}\geqslant 6<=>-5p^3+47p-54\geqslant 0$
$<=>(p-2)[32-5(p+1)^2]\geqslant 0<=>\sqrt{3}\leqslant p\leqslant 2$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 18-12-2015 - 19:22