Chủ đề này có 4 trả lời

[toan9thd]

cho tam giác ABC .Cm:$\frac{AB+AC+BC}{4}< R+r$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 19-12-2015 - 18:37

[vuliem1987]

Chú ý : Các bạn cần trang bị các công thức và BĐT lượng giác trong tam giác.

Áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác ta có BĐT cần chứng minh trở thành 

sinA + sinB + sinC < 2(cosA + cosB + cosC) <=> 4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) < 2 + 8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

Chia cả 2 vế cho  cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) thì BĐT tương đương với 

$\frac{1}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}+4tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}> 2$

Đặt x = tan(A/2) ; y = tan(B/2) ; z = tan(C/2) ta có xy + yz + zx = 1 và $\sqrt{\left ( 1+x^{2} \right )\left ( 1+y^{2} \right )\left ( 1+z^{2} \right )}=\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )$  và chú ý  $\frac{1}{cos\frac{A}{2}}=\sqrt{1+x^{2}}$ , tương tự cho các đẳng thức còn lại.

Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành

$\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )+4xyz> 2\Rightarrow \left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )+3xyz> 2\Rightarrow x+y+z+3xyz> 2$

Từ xy + yz + zx = 1 ta rút ra  $z=\frac{1-xy}{x+y}$ thay vào và quy đồng và biến đổi khéo ta đưa về BĐT 

$\left ( x+y-1 \right )^{2}> xy\left ( 3xy-2 \right )$

TH1 : Nếu xy < 2/3 thì BĐT đúng.

TH2 : Nếu  $\frac{2}{3}\leq xy=p^{2}< 1$  thì do BĐT AM - GM ta có  $x+y\geq 2\sqrt{xy}=2p$ > 1

Khi đó ta chỉ cần chứng minh BĐT sau là đủ

$\left ( 2p-1 \right )^{2}> p^{2}\left ( 3p^{2}-2 \right )\Rightarrow \left ( p-1 \right )\left ( 3p^{3}+3p^{2}-3p+1 \right )< 0$ , nhưng BĐT đúng do p < 1

Tóm lại ta chỉ ra được BĐT ban đầu là đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 19-12-2015 - 21:12

[takarin1512]

Đặt $\left\{\begin{matrix} p-a=x\\ p-b=y\\ p-c=z \end{matrix}\right.$(với $p$ là nửa chu vi tam giác)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p=x+y+z\\ a=y+z\\ b=z+x\\ c=x+y \end{matrix}\right.$

Ta có: $R+r>\frac{a+b+c}{4}\Leftrightarrow 4\left ( R+r \right )>a+b+c\Leftrightarrow \frac{abc}{S}+\frac{8S}{a+b+c}> a+b+c\Leftrightarrow \frac{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}{\sqrt{\left ( x+y+z \right )xyz}}+\frac{4\sqrt{\left ( x+y+z \right )xyz}}{x+y+z}=\frac{\sqrt{x+y+z}\left ( xy+yz+zx \right )}{\sqrt{xyz}}+3\sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}}>2\left ( x+y+z \right )$

( do $\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )=\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )-xyz$)

Tiếp tục đặt $\left\{\begin{matrix} p=x+y+z\\ q=xy+yz+zx\\ r=xyz \end{matrix}\right.$ 

Bài toán cần chứng minh trở thành

$\frac{\sqrt{p}q}{\sqrt{r}}+3\sqrt{\frac{r}{p}}>2p\Leftrightarrow pq+3r>2p\sqrt{pr}\Leftrightarrow \left ( pq \right )^{2}+6pqr+9r^{2}>4p^{3}r(*)$

Đến đây ta nhận thấy $q^{2}\geq 3pr\Rightarrow \left ( pq \right )^{2}\geq 3p^3r(1)$ 

Áp dụng $a,b,c$ là ba cạnh tam giác ta chứng minh được $6pq+9r>p^{3}\Rightarrow 6pqr+9r^2>p^3r$

Từ đó ta có được điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 19-12-2015 - 21:39

[vuliem1987]

Chú ý : Kĩ thuật rút thế và biến đổi ở đây sẽ có ứng dụng cho một số BĐT hay mà giả thiết là xy + yz + zx = 1. Nếu bạn đọc đọc tạp chí toán học và tuổi trẻ sẽ có lúc dùng đến nó nếu ko lời giải bài toán đó sẽ khá khó hoặc khó vượt qua.

[toan9thd]

$6pq+9r>p^{3}$ chung minh the nao a