Cho a, b, c là các số nguyên và p là 1 số nguyên tố. CMR: Tồn tại các số nguyên x, y, z không đồng thời chia hết cho p sao cho $p \mid ax^{2}+by^{2}+cz^{2}$
#2
Đã gửi 20-12-2015 - 17:50
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Ta có thể sử dụng định lý Cauchy-Davenport để giải bài này. Xét ba tập $A= \left \{ ax^2 \mid x < \tfrac p2 \right \}, A= \left \{ by^2 \mid y < \tfrac p2 \right \}, C= A= \left \{ cz^2 \mid z < \tfrac p2 \right \}$.
Do các số $x,y,z$ không thể đồng thời chia hết cho $p$ nên theo định lý thì $$\mid A+B+C \mid \ge \min \left \{ \frac{p+1}{2}+\frac{p+1}{2}+ \frac{p-1}{2}-2,p \right \}=p.$$
Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 20-12-2015 - 17:50
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 20-12-2015 - 19:18
holmes2013
-
- Thành viên
-
- 189 Bài viết
Trung sĩ
Ta có thể sử dụng định lý Cauchy-Davenport để giải bài này. Xét ba tập $A= \left \{ ax^2 \mid x < \tfrac p2 \right \}, A= \left \{ by^2 \mid y < \tfrac p2 \right \}, C= A= \left \{ cz^2 \mid z < \tfrac p2 \right \}$.
Do các số $x,y,z$ không thể đồng thời chia hết cho $p$ nên theo định lý thì $$\mid A+B+C \mid \ge \min \left \{ \frac{p+1}{2}+\frac{p+1}{2}+ \frac{p-1}{2}-2,p \right \}=p.$$
Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.
Bạn có cách giải nào sơ cấp hơn không
#4
Đã gửi 23-12-2015 - 20:32
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Xin lỗi bạn, mình không có cách nào sơ cấp hơn. Nếu bạn vẫn chưa biết về định Cauchy-Davenport, bạn có thể tham khảo tại đây hoặc đây.
- nhungvienkimcuong, vietanhpbc và Hoang72 thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#5
Đã gửi 23-12-2015 - 21:04
nhungvienkimcuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 678 Bài viết
Thiếu úy
Cho a, b, c là các số nguyên và p là 1 số nguyên tố. CMR: Tồn tại các số nguyên x, y, z không đồng thời chia hết cho p sao cho $p \mid ax^{2}+by^{2}+cz^{2}$
một cách khác nữa ở đây
- Zaraki và Dung Du Duong thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em 
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh 
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
