Chủ đề này có 15 trả lời

[tpdtthltvp]

1/Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

2/Cho a,b,c là các số thực không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn a+b+c=3.CMR:

$$a^2+b^2+c^2\leq 5$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 20-12-2015 - 14:53

[phamngochung9a]

1/Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

2/Cho a,b,c là các số thực không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn a+b+c=3.CMR:

$$a^2+b^2+c^2\leq 5$$

2)

$(a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\Rightarrow abc-2ab-2bc-2ca+4a+4b+4c-8\leq 0\\\Rightarrow abc-2ab-2bc-2ca+4\leq 0\\\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 4+abc\geq 4$

Mặt khác : $a+b+c=3$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)=9-2(ab+bc+ca)\leq 9-4=5$

[tpdtthltvp]

Bài 1 làm thế nào mn?

[royal1534]

1/Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

 

 

Bài 1 làm thế nào mn?

Bài 1 có nhầm đề không hả em.Anh nghĩ đề phải là: $\sum \frac{a+b}{ab+c^{2}} \leq \sum \frac{1}{a}$

[tpdtthltvp]

Bài 1 có nhầm đề không hả em.Anh nghĩ đề phải là: $\sum \frac{a+b}{ab+c^{2}} \leq \sum \frac{1}{a}$

Đề đúng rồi anh!

[quoccuonglqd]

1/$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)(a-c)}{a(a^{2}+bc)}\geq 0$

bất đẳng thức này đúng theo vonicur-schur sau khi giả sử $a\geq b\geq c$

[Trung Kenneth]

$Vì 0 \leq a,b,c \leq 2 \rightarrow (2-a).(2-b).(2-c)\geq 0 => 8-4.(a+b+c)+ 2 (ab+bc+ac)-abc\geq 0 => 2.(ab+bc+ac)\geq 4+abc (vì a+b+c=3)\geq 4(do a,b,c\geq 0) => (a+b+c)^{2} - (a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 4 => a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq (a+b+c)^{2}-4 => a^2+b^2+c^2 \leq 5 (do a+b+c=3) => đpcm Dấu = xảy ra khi 1 số =1, 1 số = 2, 1 số =0$

[PlanBbyFESN]

2/Cho a,b,c là các số thực không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn a+b+c=3.CMR:

$$a^2+b^2+c^2\leq 5$$

Giả sử a=max{a,b,c} $\Rightarrow 1\leq a\leq 2\Rightarrow (a-1)(2-a)\geq 0\Rightarrow a^{2}\leq 3a-2.$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}-2bc\leq a^{2}+\left ( 3-a \right )^{2}=2a^{2}-6a+9\leq 6a-4-6a+9=5$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=2,b=1,c=0$ và các hoán vị ~~~~ END!

[tpdtthltvp]

Bài 1 làm thế nào mn?

[PlanBbyFESN]

2/Cho a,b,c là các số thực không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn a+b+c=3.CMR:

$$a^2+b^2+c^2\leq 5$$

Vs những bài hoán vị vòng quanh thì cách làm thường là giả sử biến(hoặc số) là min hoặc max rồi đánh giá tích...( mò ấy ), tất nhiên có thể vấn dụng tích thẳng ( với những bài mức độ bt như bài này) hoặc bđt kinh điển.... như cách bn... gì đó cũng khá hay

[Trung Kenneth]

 

Bài 1 làm thế nào mn?

 

bạn ơi đề sai rồi phải là $\frac{b+c}{a^2+bc}+ \frac{a+c}{b^2+ac} +\frac{a+b}{c^2+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

mình chắc luôn

[PlanBbyFESN]

bạn ơi đề sai rồi phải là $\frac{b+c}{a^2+bc}+ \frac{a+c}{b^2+ac} +\frac{a+b}{c^2+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

mình chắc luôn

có thể sai nhưng hình như cả hai đề đều làm được

[tpdtthltvp]

bạn ơi đề sai rồi phải là $\frac{b+c}{a^2+bc}+ \frac{a+c}{b^2+ac} +\frac{a+b}{c^2+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

mình chắc luôn

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 21-12-2015 - 20:46

[tpdtthltvp]

có thể sai nhưng hình như cả hai đề đều làm được

 

bạn ơi đề sai rồi phải là $\frac{b+c}{a^2+bc}+ \frac{a+c}{b^2+ac} +\frac{a+b}{c^2+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

mình chắc luôn

CM đi bạn!

[meomunsociu]

CM đi bạn!

Ta có : $\frac{b+c}{a^2+bc}=\frac{(b+c)^2}{(a^2+bc)(b+c)}=\frac{(b+c)^2}{c(a^2+b^2)+b(a^2+c^2)}\leq \frac{b^2}{c(a^2+b^2)}+\frac{c^2}{b(a^2+c^2)}$ (Bunhia dạng phân thức)

$\Rightarrow \frac{b+c}{a^2+bc}\leq \frac{b^2}{c(a^2+b^2)}+\frac{c^2}{b(a^2+c^2)}$

Lập các BĐT tương tự suy ra ĐPCM

[PlanBbyFESN]

Ta có : $\frac{b+c}{a^2+bc}=\frac{(b+c)^2}{(a^2+bc)(b+c)}=\frac{(b+c)^2}{c(a^2+b^2)+b(a^2+c^2)}\leq \frac{b^2}{c(a^2+b^2)}+\frac{c^2}{b(a^2+c^2)}$ (Bunhia dạng phân thức)

$\Rightarrow \frac{b+c}{a^2+bc}\leq \frac{b^2}{c(a^2+b^2)}+\frac{c^2}{b(a^2+c^2)}$

Lập các BĐT tương tự suy ra ĐPCM

oh! tự nhiên có nhiều vị khách hơi bất ngờ. tpdtthltyp>>> hậu quả của thách thức dân CXH