Chủ đề này có 1 trả lời

[minhrongcon2000]

Cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao CH. Trên CH lấy X. Trên AX, BX lấy K,L sao cho BK= BC và AL=AC. Gọi M là giao điểm của BK và AL. Chứng minh rằng khi X chuyển động trên CH thì MX luôn đi qua 1 điểm cố định.

[nguyenhaan2209]

Gọi $AE$ cắt $(O)$ tại $K, G$ đx $F$ qua $K$, $AJ$ cắt $(O)$, $(B,BC)$ tại $I,M, FJ$ cắt $BC$ tại $H, D$ là chân đg cao, $C'$ đx $C$ qua $D$

Ta có: $AF^2=AG^2=AC^2=AD.AB => AFD=AGD(=DBG) => BA.BD=BF.BG=BK.BE => (BEGF)=-1$ (Maclaurin đảo)

CMTT thì $(AEMJ)=-1$

Áp dụng định lí Menelaus cho tg $AEB$, cát tuyến $FML => LB/LA=FB/FE.ME/MA=GB/GE.EJ/EA => L,J,G$ thẳng hàng

Vậy $JM, FG, AB$ đquy

Lại có: $L(MGEH)=L(FJEA)=-1$ nên $MG, JF, AC$ đồng quy

Mà $EG.EF=EC.EC'=EM.EJ =>D$ là điểm Miquel của ($FMGJ - HL$) vì $CD$ vg $HL => (FJLD)$ đồng viên

Vì $(HLAD)=-1$ mà $ACB=90 =>CA$ là pg góc $HCL$

$=>ACL=45$ mà $ACB=90 -> BCL=45 -> L$ là chân pg góc $C$

Kéo dài $FA$ cắt $JB$ tại $M$ thì áp dụng $Desargues$ cho $(FMA)$ và $(JGB)$ thì có ngay $ME$ đi qua $L$ cố định là chân pg góc $C$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 15-08-2018 - 00:28