Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Chứng minh rằng: a+b+c$\geq$ab+bc+ca.
Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Chứng minh rằng: a+b+c$\geq$ab+bc+ca.
#1
Đã gửi 22-12-2015 - 22:33
đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =∞
#3
Đã gửi 23-12-2015 - 07:53
Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Chứng minh rằng: a+b+c$\geq$ab+bc+ca.
Đặt $a+b+c=p, ab+bc+ca=q, abc=r $
Theo giả thiết, $=> p+r=4 => r=4-p$ , dễ suy ra $p \geq 3$
Theo bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có
$p^3 - 4pq + 9r \geq 0 => p^3 -4pq + 9(4-p) \geq 0 => p^3 +36 - 9p \geq 4pq => \frac{p^3-9p+36}{4p} \geq q $
Ta cần chứng minh $p \geq \frac{p^3-9p+36}{4p} <=> p^3 - 4p^2 -9p + 36 \leq 0 <=> 3 \leq p \leq 4 $
Mà TH $p \geq 4$ thì vô lý do $p+r=4 $
Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 23-12-2015 - 07:54
- kkqwe yêu thích
#4
Đã gửi 23-12-2015 - 08:22
bài này vẫn đúng khi đổi điều kiện thành ab+bc+ac+abc=4 và khi đổi điều kiện thành a+b+c+1=4abc thì bất đẳng thức ngược lại tức là
ab+bc+ac $\geq$ a+b+c
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi revenge: 23-12-2015 - 10:11
#5
Đã gửi 28-12-2015 - 18:48
Đặt $a+b+c=p, ab+bc+ca=q, abc=r $
Theo giả thiết, $=> p+r=4 => r=4-p$ , dễ suy ra $p \geq 3$
Theo bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có
$p^3 - 4pq + 9r \geq 0 => p^3 -4pq + 9(4-p) \geq 0 => p^3 +36 - 9p \geq 4pq => \frac{p^3-9p+36}{4p} \geq q $
Ta cần chứng minh $p \geq \frac{p^3-9p+36}{4p} <=> p^3 - 4p^2 -9p + 36 \leq 0 <=> 3 \leq p \leq 4 $
Mà TH $p \geq 4$ thì vô lý do $p+r=4 $
Vậy ta có điều phải chứng minh
BẠn thử chứng minh $p^{3}-4pq+9r\geq 0$ đi
đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =∞
#6
Đã gửi 28-12-2015 - 21:03
BẠn thử chứng minh $p^{3}-4pq+9r\geq 0$ đi
À, đó chính là dạng khai triển $pqr$ của bất đẳng thức Schur bậc 3
Bạn có thể tham khảo thêm, khá dễ để CM nhưng ứng dụng lại vô cùng nhiều
#7
Đã gửi 30-12-2015 - 20:14
À, đó chính là dạng khai triển $pqr$ của bất đẳng thức Schur bậc 3
Bạn có thể tham khảo thêm, khá dễ để CM nhưng ứng dụng lại vô cùng nhiều
ai chả biết vấn đề là chứng minh, mà thôi hình như mình chứng minh được rồi
đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =∞
#8
Đã gửi 30-12-2015 - 20:55
ai chả biết vấn đề là chứng minh, mà thôi hình như mình chứng minh được rồi
Bất đẳng thức schur bậc 3
Với $a,b,c,k$ là các số thức không âm
$a^k(a-b)(a-c) + b^k(b-c)(b-a) + c^k(c-a)(c-b) \geq 0 (*)$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c $
$(*)<=> (a-b)(a^k(a-c) -b^k(b-c)) + c^k(c-a)(c-b) \geq 0 (*)(*)$
Mà $a^k \geq b^k ; a-c \geq b-c ; (c-a)(c-b) \geq 0 $
Do đó $(*)(*) \geq 0$
Với $k=1$ và đặt $p=a+b+c; q=ab+bc+ca; r=abc $
Ta được $p^3-4pq +9r \geq 0$
- manhhung2013 yêu thích
#9
Đã gửi 07-01-2016 - 21:07
sao lại phải dùng schur nhỉ
giả sửa+b+c< 3\Rightarrow (a+b+c)^{3}< 27\Rightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{27}< 1
#10
Đã gửi 01-10-2016 - 22:22
Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Chứng minh rằng: a+b+c$\geq$ab+bc+ca.
Theo nguyên lí Dirichlet, trong $3$ số: $a-1;b-1;c-1$ tồn tài ít nhất $2$ số có tích không âm. KMTTQ, giả sử là: $a-1;b-1$.
Khi đó, ta có: $(a-1)(b-1)\ge 0\implies ab+1\ge a+b\implies abc+c\ge c(a+b)\implies ab+abc+c\ge ab+bc+ca$.
Ta đi CM: $ab+abc\le a+b$ thì bài toán được CM.
Từ GT: $c=\frac{4-ab}{a+b+ab}$. Thay vào ta cần chứng minh:
$ab+\frac{ab(4-ab)}{a+b+ab}\le a+b\iff 1+\frac{\frac{4}{ab}-1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1}\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.
$\iff \frac{4}{ab}-1\le (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-1)$.
$\iff \frac{4}{ab}-1\le (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2-1\iff \frac{4}{ab}\le (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2\implies Q.E.D$.
Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.
- Tea Coffee yêu thích
#11
Đã gửi 04-08-2017 - 17:34
Từ GT: $c=\frac{4-ab}{a+b+ab}$.
GT là a+b+c+abc=4 chứ có phải ab+bc+ac+abc=4 đâu nhỉ
- tritanngo99, TranHungDao và iloveyoubebe thích
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh