Chủ đề này có 2 trả lời

[Trung Kenneth]

Cho x,y,z $\epsilon \left [ 0;1 \right ]$ thỏa mãn $xyz=(1-x).(1-y).(1-z)$ Chứng minh rằng:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}$

[haichau0401]

Cho x,y,z $\epsilon \left [ 0;1 \right ]$ thỏa mãn $xyz=(1-x).(1-y).(1-z)$ Chứng minh rằng:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}$

Ta có: $xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx$ (1)

Ta chứng minh:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq 2(xy+yz+zx)+\frac{3}{4}=4xyz+2(x+y+z)-\frac{5}{4}$ (theo (1) )

Mà $xyz\leq \left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^{3}$

Đặt $a+b+c=t$, ta chỉ cần chứng minh 

$t^2 \geq 2t+\frac{4t^3}{27}-\frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow (\frac{4t}{27}-\frac{5}{9})(t-\frac{3}{2})^2 \leq 0$

$\Leftrightarrow t \leq \frac{15}{4}$ (do $(t-\frac{3}{2})^2 \geq 0$)

Mà $t=a+b+c<3$ nên suy ra điều phải chứng minh

[Trung Kenneth]

Ta có: $xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx$ (1)

Ta chứng minh:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq 2(xy+yz+zx)+\frac{3}{4}=4xyz+2(x+y+z)-\frac{5}{4}$ (theo (1) )

Mà $xyz\leq \left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^{3}$

Đặt $a+b+c=t$, ta chỉ cần chứng minh 

$t^2 \geq 2t+\frac{4t^3}{27}-\frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow (\frac{4t}{27}-\frac{5}{9})(t-\frac{3}{2})^2 \leq 0$

$\Leftrightarrow t \leq \frac{15}{4}$ (do $(t-\frac{3}{2})^2 \geq 0$)

Mà $t=a+b+c<3$ nên suy ra điều phải chứng minh

phải là 2xyz chớ bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 23-12-2015 - 22:03