Chủ đề này có 6 trả lời

[lebaominh95199]

Tìm $P(x)\in \mathbb{R}\left [ x \right ]$ thỏa mãn:

$P(x^{2})=P(x).P(x+1)$, $\forall x\in \mathbb{R}$

Mình viết tiêu đề bị sai rồi mà mình không biết sửa, mong các bạn thông cảm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 01-01-2016 - 21:28

[superpower]

Tìm $P(x)\in \mathbb{R}\left [ x \right ]$ thỏa mãn:

$P(x^{2})=P(x).P(x+1)$, $\forall x\in \mathbb{R}$

Mình viết tiêu đề bị sai rồi mà mình không biết sửa, mong các bạn thông cảm.

Bài này dùng số phức thôi bạn

Ghi nhớ: Mọi đa thức đều có nghiệm

Bạn gọi nghiệm đó ra, so sánh modun là xong

[Ego]

Tìm $P(x)\in \mathbb{R}\left [ x \right ]$ thỏa mãn:

$P(x^{2})=P(x).P(x+1)$, $\forall x\in \mathbb{R}$

Mình viết tiêu đề bị sai rồi mà mình không biết sửa, mong các bạn thông cảm.

Mình làm thế này, bạn coi thế nào nhé? Trường hợp đa thức hằng $P(x) = 1$ tầm thường, ta chỉ xét $\deg{P} \ge 1$
Nếu $\alpha \in \mathbb{C}$ là một nghiệm của $P(x)$ thì $\alpha^{2}$ và $(\alpha - 1)^{2}$ cũng là nghiệm của $P(x)$.
Nếu có một nghiệm $\alpha$ sao cho $|\alpha| > 1$ thì mọi phần tử của dãy tăng vô hạn $\alpha < (\alpha)^{2} < \ldots < (\alpha)^{2^{t}} < \ldots$ cũng là nghiệm của $P(x)$, vô lí do đa thức chỉ có hữu hạn nghiệm.
Nếu có một nghiệm $\alpha$ sao cho $0 < |\alpha| < 1$ thì mọi phần tử của dãy giảm vô hạn $\alpha > (\alpha)^{2} > \ldots > (\alpha)^{2^t} > \ldots$ cũng đều là nghiệm. Do đó cũng vô lí.
Do vậy $P(x)$ chỉ nhận các nghiệm có module là $1$ hoặc $0$.
TH1: $P(0) \neq 0$. Thế $x:=0$ vào có được $P(1) = 0$. Mặt khác, theo nhận định trên thì $(1 - 1)^2 = 0$ cũng là nghiệm. Vô lí.
TH2: $P(0) = 0$. Từ nhận đinh, ta có $(0 - 1)^{2}$ cũng là nghiệm. Vậy đặt $P(x) = x^{m}.(x - 1)^{n}.Q(x)$ với $Q(0) \neq 0$ và $Q(1) \neq 0$.
$$Q(x^{2}).x^{2m}.(x^{2} - 1)^{n} = x^{m}.(x - 1)^{n}.(x + 1)^{m}.x^{n}.Q(x).Q(x + 1)$$
So sánh các nhân tử $x^{k}$ của hai bên dễ thấy $m = n$.
Vậy ta có $Q(x^{2}) = Q(x).Q(x + 1)$. Từ đây có thể suy ra $Q(x)$ là đa thức hằng khác $0$ nhờ:
i) $P(x) \neq 0$
ii) Lí luận tương tự trên "Nếu $\alpha$ là một nghiệm ...", để ý một điều là $Q(0) \neq 0$, tương tự trường hợp 1. Có được điều vô lí.
Tóm lại $P(x) = [x(x + 1)]^{L}$

[lebaominh95199]

Mình làm thế này, bạn coi thế nào nhé? Trường hợp đa thức hằng $P(x) = 1$ tầm thường, ta chỉ xét $\deg{P} \ge 1$
Nếu $\alpha \in \mathbb{C}$ là một nghiệm của $P(x)$ thì $\alpha^{2}$ và $(\alpha - 1)^{2}$ cũng là nghiệm của $P(x)$.
Nếu có một nghiệm $\alpha$ sao cho $|\alpha| > 1$ thì mọi phần tử của dãy tăng vô hạn $\alpha < (\alpha)^{2} < \ldots < (\alpha)^{2^{t}} < \ldots$ cũng là nghiệm của $P(x)$, vô lí do đa thức chỉ có hữu hạn nghiệm.
Nếu có một nghiệm $\alpha$ sao cho $0 < |\alpha| < 1$ thì mọi phần tử của dãy giảm vô hạn $\alpha > (\alpha)^{2} > \ldots > (\alpha)^{2^t} > \ldots$ cũng đều là nghiệm. Do đó cũng vô lí.
Do vậy $P(x)$ chỉ nhận các nghiệm có module là $1$ hoặc $0$.
TH1: $P(0) \neq 0$. Thế $x:=0$ vào có được $P(1) = 0$. Mặt khác, theo nhận định trên thì $(1 - 1)^2 = 0$ cũng là nghiệm. Vô lí.
TH2: $P(0) = 0$. Từ nhận đinh, ta có $(0 - 1)^{2}$ cũng là nghiệm. Vậy đặt $P(x) = x^{m}.(x - 1)^{n}.Q(x)$ với $Q(0) \neq 0$ và $Q(1) \neq 0$.
$$Q(x^{2}).x^{2m}.(x^{2} - 1)^{n} = x^{m}.(x - 1)^{n}.(x + 1)^{m}.x^{n}.Q(x).Q(x + 1)$$
So sánh các nhân tử $x^{k}$ của hai bên dễ thấy $m = n$.
Vậy ta có $Q(x^{2}) = Q(x).Q(x + 1)$. Từ đây có thể suy ra $Q(x)$ là đa thức hằng khác $0$ nhờ:
i) $P(x) \neq 0$
ii) Lí luận tương tự trên "Nếu $\alpha$ là một nghiệm ...", để ý một điều là $Q(0) \neq 0$, tương tự trường hợp 1. Có được điều vô lí.
Tóm lại $P(x) = [x(x + 1)]^{L}$

Mặc dù mình hỏi trên $\mathbb{R}$ mà bạn lại trả lời trên $\mathbb{C}$    . Nhưng dù sao cũng cảm ơn.

[dogsteven]

Mặc dù mình hỏi trên $\mathbb{R}$ mà bạn lại trả lời trên $\mathbb{C}$    . Nhưng dù sao cũng cảm ơn.

Đa thức có hệ số thuộc $\mathbb{R}$ và nghiệm của nó thuộc $\mathbb{C}$ thì có gì đáng nói vậy anh.

[lebaominh95199]

Đa thức có hệ số thuộc $\mathbb{R}$ và nghiệm của nó thuộc $\mathbb{C}$ thì có gì đáng nói vậy anh.

Với bài này thì nghiệm cũng thuộc $\mathbb{R}$ luôn em ạ, do $\forall x\in \mathbb{R}$ mà.

[dogsteven]

Với bài này thì nghiệm cũng thuộc $\mathbb{R}$ luôn em ạ, do $\forall x\in \mathbb{R}$ mà.

Nghiệm thuộc $\mathbb{R}$ thì thuộc $\mathbb{C}$ rồi anh.