Chủ đề này có 5 trả lời

[Kira Tatsuya]

Cho $x,y,z$ thỏa $xyz=2\sqrt{2}$.Chứng minh:

$\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4+x^2y^2}+\frac{y^8+z^8}{y^4+z^4+y^2z^2}+\frac{z^8+x^8}{z^4+x^4+z^2x^2}\geqslant 8$

 

 

[quan1234]

Cho $x,y,z$ thỏa $xyz=2\sqrt{2}$.Chứng minh:

$\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4+x^2y^2}+\frac{y^8+z^8}{y^4+z^4+y^2z^2}+\frac{z^8+x^8}{z^4+x^4+z^2x^2}\geqslant 8$

Đặt $x^2=a,y^2=b,c^2=z$, ta có $abc=8$

$VT= \sum \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2+ab}$. Ta cm $\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2+ab}\geq \frac{1}{3}(a+b)$ cái này có thể cm bằng biến đổi tương đương.Sau đó dùng AM-GM là ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 01-01-2016 - 22:28

[Kira Tatsuya]

Đặt $x^2=a,y^2=b,c^2=z$, ta có $abc=8$

$VT= \sum \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2+ab}$. Ta cm $\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2+ab}\geq \frac{1}{3}(a+b)$ cái này có thể cm bằng biến đổi tương đương.Sau đó dùng AM-GM là ra

có cách nào nghĩ ra được phần đó không bạn ?

[royal1534]

có cách nào nghĩ ra được phần đó không bạn ?

Ý bạn là phần $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}} \geq \frac{1}{3}(a+b)$ phải không ?

Ta có $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}}$

Sử dụng bổ đề quen thuộc $\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} \geq \frac{1}{3}$ (Có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)

$\rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}} \geq \frac{1}{3}(a+b)$

[TMW]

Ý bạn là phần $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}} \geq \frac{1}{3}(a+b)$ phải không ?

Ta có $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}}$

Sử dụng bổ đề quen thuộc $\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} \geq \frac{1}{3}$ (Có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)

$\rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}} \geq \frac{1}{3}(a+b)$

Thấy chả quen  cái bổ đề chi lạ rứa :3

[TMW]

Cho $x,y,z$ thỏa $xyz=2\sqrt{2}$.Chứng minh:

$\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4+x^2y^2}+\frac{y^8+z^8}{y^4+z^4+y^2z^2}+\frac{z^8+x^8}{z^4+x^4+z^2x^2}\geqslant 8$

Nên làm đơn giản và dễ hiểu thôi. Làm như sau:

2(a^3 + b^3) = (a^3 + b^3 ) + ( a^3 + b^3) >= (a^3 + b^3) + ab( a+ b) = (a + b)( a^2 + b^2 )

a^2 + ab + b^2 <= a^2 + 0.5( a^2 + b^2 ) + b^2

Kết hợp lại, rút gọn là ổn rồi. Không cần phải dùng công cụ phức tạp đâu

Ý tưởng như vầy:

Ta có bất đẳng thức quen thuộc: a^2 + b^2 >= 2ab ( thực ra cũng chả quen mấy) 

Do đó : mẫu của phân thức thứ nhất được chuyển về hết a^2 + b^2

Vì vậy mà xuất hiện ý nghĩ chuyển tử phân thức chứa a^2 + b^2 để tiện bề rút gọn...... vậy thôi

Cách thứ 2 lại còn thú vị hơn nhé....................

Bạn biết a^2 + ab + b^2 xuất hiện ở đâu chứ? À, a^3 - b^3 = ( a - b ) ( a^2 + ab + b^2)

À, vì vậy nên ( a^3 - b^3)/( a^2 + ab + b^2) = (a - b)

Tương tự ta có: [.........] = b- c và [..........] = c - a 

Cộng vế theo vế, từ đó thu được: a^3 / ( a^2 + ab + b^2 ) + ................ = b^3 / ( a^2 + ab +b^2)

Thành thử ta chỉ cần chứng minh: a^3/ (a^2 + ab + b^2 )+......... >= 4 ( bất đẳng thức "quen thuộc" nhỉ ????)

Cách 3: