Bài 31 : Cho $a,b$ là các số tự nhiên không chia hết cho $5$. Chứng minh $pa^8+qb^8$ chia hết cho $5$ khi và chỉ khi $p+q$ chia hết cho $5$
Ta có thể tổng quát bài toán như sau :
Cho $a,b$ là các số tự nhiên không chia hết cho $5$. Chứng minh $pa^{4k}+qb^{4k}$ chia hết cho $5$ khi và chỉ khi $p+q$ chia hết cho $5$
Đầu tiên ta chứng minh bài toán phụ: lũy thừa bậc 4 của một số tự nhiên chia cho 5 chỉ có số dư là 0 hoặc 1
Chứng minh: Với số tự nhiên $x$, ta xét các trường hợp sau
- $x\equiv 0(mod5)\Rightarrow x^{4}\equiv 0(mod 5)$, ta có đpcm.
- $x\equiv \pm 1(mod5)\Rightarrow x^{4}\equiv 1(mod 5)$, ta có đpcm.
- $x\equiv \pm 2(mod5)\Rightarrow x^{4}\equiv 16\equiv 1(mod 5)$, ta có đpcm.
Bài toán phụ được chứng minh.
Trở lại bài 31, Vì a,b không chia hết cho 5 nên $a^4,b^4\equiv 1(mod5)$, suy ra $pa^8\equiv p(mod5)$ và $qb^8\equiv q(mod5)$. Vậy $pa^8+qb^8\equiv p+q(mod5)$.Suy ra được đpcm.
Bài toán mở rộng cmtt.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Min Nq: 06-01-2016 - 21:49