6 replies to this topic

[hoctrocuaHolmes]

Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{3}$. Chứng minh rằng $m, n$ đều là lập phương của một số. 

Spoiler

+Bài này là mở rộng của bài toán:Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{2}$. Chứng minh rằng $m, n$ đều là số chính phương

 

 

[hoctrocuaHolmes]

Bài toán tổng quát:Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{p}$($p$ là số nguyên tố). Chứng minh rằng $m, n$ đều có dạng $m=x^p;n=y^p$ ($x,y$ là các số nguyên dương)

[superpower]

Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{3}$. Chứng minh rằng $m, n$ đều là lập phương của một số. 

Spoiler

+Bài này là mở rộng của bài toán:Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{2}$. Chứng minh rằng $m, n$ đều là số chính phương

Giải

Giả sử $k=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n}$

$=> k^3 = p_1^{3a_1}.p_2^{3a_2}...p_n^{3a_n} $

Xét $p$ là 1 ước bất kì của $k$

Ta có $m.n \vdots p^{3}$

Mặt khác do $(m,n)=1 => m \vdots p^3  \text{hoặc } n \vdots p^3$ (vì nếu $n=p;m=p^2$ thì vô lý, tương tự trường hợp kia )

Từ đó, cứ như thế, $m,n$ đều là lập phương của số tự nhiên

Lập luận cho tương tự cho trường hợp tổng quát

Edited by superpower, 03-01-2016 - 10:39.

[Element hero Neos]

Giải

Giả sử $k=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n}$

$=> k^3 = p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n} $

Xét $p$ là 1 ước bất kì của $k$

Ta có $m.n \vdots p^{3}$

Mặt khác do $(m,n)=1 => m \vdots p^3  \text{hoặc } n \vdots p^3$ (vì nếu $n=p;m=p^2$ thì vô lý, tương tự trường hợp kia )

Từ đó, cứ như thế, $m,n$ đều là lập phương của số tự nhiên

Lập luận cho tương tự cho trường hợp tổng quát

Chỗ màu xanh có vấn đề về số mũ!

[quanganhthanhhoa]

Giải

Giả sử $k=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n}$

$=> k^3 = p_1^{3a_1}.p_2^{3a_2}...p_n^{3a_n} $

Xét $p$ là 1 ước bất kì của $k$

Ta có $m.n \vdots p^{3}$

Mặt khác do $(m,n)=1 => m \vdots p^3  \text{hoặc } n \vdots p^3$ (vì nếu $n=p;m=p^2$ thì vô lý, tương tự trường hợp kia )

Từ đó, cứ như thế, $m,n$ đều là lập phương của số tự nhiên

Lập luận cho tương tự cho trường hợp tổng quát

Đoạn màu đỏ bạn làm thế nào để chứng minh là lập phương của số tự nhiên được,bạn phải chứng minh được $p^3 \vdots m$ và $p^3 \vdots n$ thì mới suy ra được lập phương của số tự nhiên chứ.Lập luận của bạn quá là mơ hồ đi !!

[tpdtthltvp]

Bài toán tổng quát:Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{p}$($p$ là số nguyên tố). Chứng minh rằng $m, n$ đều có dạng $m=x^p;n=y^p$ ($x,y$ là các số nguyên dương)

Giả sử $(m,k)=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix}m=d.m' &  & \\ k=d.k' &  & \end{matrix}\right.\Rightarrow d.m'.n=d^p.k'^p\Rightarrow m'.n=d^{p-1}.k'^p$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}m'.n\vdots k'^p (1)&  & \\ d^{p-1}.k'^p\vdots n(2) &  & \end{matrix}\right.$

Mà $(m',k')=1$ nên $(1)\Rightarrow n\vdots k'^p$

      $(m,n)=1$ nên $(n,d)=1$ nên $(2)\Rightarrow k'^p\vdots n$

$\Rightarrow n=k'^p\Rightarrow m=d^p(dpcm)$

Edited by hoanglong2k, 03-01-2016 - 18:53.

[superpower]

Đoạn màu đỏ bạn làm thế nào để chứng minh là lập phương của số tự nhiên được,bạn phải chứng minh được $p^3 \vdots m$ và $p^3 \vdots n$ thì mới suy ra được lập phương của số tự nhiên chứ.Lập luận của bạn quá là mơ hồ đi !!

Tất cả các ước của $m,n$ đều có dạng $p^3$