Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangngochai]

Tìm bộ số nguyên dương m, n sao cho $p = m^2  + n^2 $ là số nguyên tố và $m^3  + n^3  - 4 \vdots p$

 

 

[I Love MC]

1) Nhận thấy $m=n=1$ là $1$ nghiệm 
Ta có xét $m>1,n>1$ 
$m^3+n^3=(m+n)(m^2+n^2-mn)=(m+n)(p-mn) \Rightarrow mn(m+n)+4 \vdots p$ 
$\Rightarrow m^3+n^3+3mn(m+n)+8 \vdots p$ 
Hay $(m+n+2)(m^2+2mn+n^2-2m-2n+4) \vdots p$ 
TH1 : $m+n+2 \vdots p$ 
$m+n+2 \vdots m^2+n^2$
$\Leftrightarrow m^2+n^2=m+n+2$ đến đây tự giải 
TH2 : $2mn-2m-2n+4 \vdots p=m^2+n^2$ 
Mầ $2mn-2m-2n+4<2mn-2-2+4 \le m^2+n^2$ 
$\Leftrightarrow 2mn-2m-2n+4=0$ đến đây tự giải luôn