Cho $0<x+y\leq 1$ . Chứng minh $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}\geq \sqrt{17}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 04-01-2016 - 12:26
$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}\geq \sqrt{17}$
Bắt đầu bởi IDT, 04-01-2016 - 11:50
#2
Đã gửi 04-01-2016 - 12:54
tpdtthltvp
-
- Điều hành viên THCS
-
- 831 Bài viết
Trung úy
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz và Cauchy, ta có:
$(1^2+4^2)(x^2+\frac{1}{x^2})\geq (x+\frac{4}{x})^2\Rightarrow \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(x+\frac{4}{x})$
Tương tự, ta có:
$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(x+\frac{4}{x}+y+\frac{4}{y})=\frac{1}{\sqrt{17}}[(x+\frac{1}{4x})+(y+\frac{1}{4y})+\frac{15}{4x}+\frac{15}{4y}]\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(1+1+\frac{15}{4}.\frac{x+y}{xy})\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(2+\frac{15}{4}.\frac{2\sqrt{xy}}{xy})=\frac{1}{\sqrt{17}}(2+\frac{15}{4}.\frac{2}{\sqrt{xy}})\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(2+\frac{15}{4}.\frac{2}{\frac{x+y}{2}})\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(2+\frac{15}{4}.4)=\sqrt{17}$
- haichau0401, chaubee2001, vuliem1987 và 3 người khác yêu thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
