Chủ đề này có 7 trả lời

[Rias Gremory]

Cho các số $a,b,c \in [1;2]$. Tìm Max, Min của biểu thức : $P=\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}$

[quoccuonglqd]

$a(a-1)(2-a)\geq 0 \rightarrow 3a^{2}-2a\geq a^{3}\rightarrow \rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(a+b+c)$

$P\geq \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(a+b+c)}$

$(a-1)(2-a)\geq 0\rightarrow 3a-2\geq a^{2}\rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3(a+b+c)-6$

$P\geq \frac{abc}{7(a+b+c)-18}$

$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\rightarrow abc\geq \frac{-(a+b+c)^{3}}{9}+4(a+b+c)(ab+bc+ca)=\frac{a+b+c}{9}(2ab+2bc+2ac-a^{2}-b^{2}-c^{2})\geq \frac{a+b+c}{9}(2\sum ab+6-3\sum a)$

$(a-1)(b-1)\geq 0\rightarrow ab\geq a+b-1$

$abc\geq \frac{a+b+c}{9}(a+b+c)$

$P\geq \frac{t^{2}}{9(7t-18)}$

Đến đây có thể khao sát hàm f(t) với $t\geq 3$,$t=a+b+c$ 

Max thì $P \leq \frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 05-01-2016 - 11:34

[vuliem1987]

Bài này có cách c/m trực tiếp Min bằng BĐT   a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc , khá kĩ thuật, tuy nhiên cũng dễ hiểu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 04-01-2016 - 22:40

[vuliem1987]

 

$a(a-1)(2-a)\geq 0 \rightarrow 3a^{2}-2a\geq a^{3}\rightarrow \rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(a+b+c)$

$P\geq \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(a+b+c)}$

$(a-1)(2-a)\geq 0\rightarrow 3a-2\geq a^{2}\rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3(a+b+c)-6$

$P\geq \frac{abc}{7(a+b+c)-18}$

$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\rightarrow abc\geq \frac{-(a+b+c)^{3}}{9}+4(a+b+c)(ab+bc+ca)=\frac{a+b+c}{9}(2ab+2bc+2ac-a^{2}-b^{2}-c^{2})\geq \frac{a+b+c}{9}(2\sum ab+6-3\sum a)$

$(a-1)(b-1)\geq 0\rightarrow ab\geq a+b-1$

$abc\geq \frac{a+b+c}{9}(a+b+c+4)$

$P\geq \frac{t(t+4)}{9(7t-18)}$

Đến đây có thể khao sát hàm f(t) với $t\geq 3$,$t=a+b+c$ 

Max thì $P \leq \frac{1}{3}$

 

Bài này Min bằng 1/5, dấu bằng xảy ra, chẳng hạn a = b =1 , c = 2 thay vào t = 4 nhưng với t = 4 thì P = 32/90 < 1/5.

[quoccuonglqd]

Tại sao nhỉ

[vuliem1987]

Bài này Min bằng 1/5, dấu bằng xảy ra, chẳng hạn a = b =1 , c = 2 thay vào t = 4 nhưng với t = 4 thì P = 32/90 < 1/5.

Em nhầm ở chỗ ab >= a+b-1; bc >=b+c-1 và ca >= c+a-1 . Vì khi đó dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.

[PlanBbyFESN]

Cho các số $a,b,c \in [1;2]$. Tìm Max, Min của biểu thức : $P=\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}$

MIN: 

Dự đoán dấu "=" sẽ là bộ (2,1,1) nên ta sẽ chứng minh thẳng bằng cách: (tuy không tự nhiên lắm)

C/m: $\frac{abc}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq \frac{1}{5}\Leftrightarrow 5abc\geq \sum a^{3}$  (1)

Đặt: x+1=a, y+1=b , z+1=c

$1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow 0\leq x,y,z\leq 1$

Khai triển(1) ra ta được:

$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \sum x^{3}+3\sum x^{2}+3\sum x+3\leq 5xyz+5\sum xy+5\sum x+5$

$\Leftrightarrow 2(x+y+z)+5xyz+5\sum xy+2\geq \sum x^{3}+3\sum x^{2}$   (*)

Do $0\leq x,y,z\leq 1$

nên ta có: $(1-x)(1-y)(1-z)\geq 0\Rightarrow 1+\sum xy\geq xyz+\sum x$

                $\Rightarrow 2+2\sum xy\geq 2xyz+2\sum x$  (**)

Từ (*) và (**) ta sẽ có điều cần chứng minh nếu:

$ 4(x+y+z)+7xyz+3\sum xy\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Đến đây thì dễ chém rồi: Do $0\leq x,y,z\leq 1$ nên hiển nhiên:

$\sum x\geq \sum x^{2};\sum x\geq \sum x^{3};\sum xy\geq 0;xyz\geq 0 $

cộng lại ta có ĐPCM.

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{5}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (x;y;z)=(1,0,0)\Leftrightarrow (a,b,c)=(2,1,1)$

Vậy P_min=$\frac{1}{5}$

MAX:

Max thì không còn gì để nói rồi:

$\sum a^{3}\geq 3abc>0\Rightarrow P\leq \frac{1}{3}$ 

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $1\leq a=b=c\leq 2$

Vậy P_max= $\frac{1}{3}$

P/S: Bài anh ra rất hay.

[vuliem1987]

Vẫn còn cách c/m trực tiếp Min không dùng phép đặt.