Chủ đề này có 1 trả lời

[mamanhkhoi2000]

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y} +\sqrt{1+2z}=5$

CMR: $x^2+2y+2z\leq8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Truong Gia Bao: 05-01-2016 - 23:05

[Quoc Tuan Qbdh]

 

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y} +\sqrt{1+2z}=5$

CMR: $x^2+2y+2z\leq8$

 

Bổ đề : Với $ab \geq 0$ ta luôn có :

$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1} \geq 1+\sqrt{a+b+1}$

Chứng minh : Bổ đề tương đương $a+1+b+1+2\sqrt{(a+1)(b+1)} \geq 1+a+b+1+2\sqrt{a+b+1}<=>ab \geq 0$ ( luôn đúng )

Áp dụng Bổ đề : ta có 
$\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z} \geq \sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+2y+2z}+1 \geq 1+\sqrt{x^{2}+2y+2z+1}+1$

Hay : $5 \geq 2+\sqrt{x^{2}+2y+2z+1}$
$<=>9 \geq x^{2}+2y+2z+1$

$<=>8 \geq x^{2}+2y+2z$ ( điều phải chứng minh )
Dấu bằng xảy ra khi $x=0$ và một trong hai số $y$ và $z$ bằng $0$ số còn lại bằng $4$