10 replies to this topic

[thansau99]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2) & \\ x^2+(y+1)^2 =2\left ( 1+\frac{1-x^2}{y} \right )& \end{matrix}\right.$

Edited by thansau99, 08-01-2016 - 21:07.

[leminhnghiatt]

 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y+2) & \\ x^2+(y+1)^2 =2\left ( 1+\frac{1-x^2}{y} \right )& \end{matrix}\right.$

 

 

Mình xin gửi ý tưởng của mình, vì ý tưởng này về sau vẫn chưa hoàn thiện nên mong các bạn đóng góp, hoàn thiện giúp mình ý tưởng...

 

 

ĐK: $y \not = 0$

 

(2) $\iff (y+2)(x^2+y^2-1)=0$

 

$\iff y=-2$   v   $x^2+y^2=1$

 

Với $y=-2$ thay vào (1) ta có: 

 

$\iff 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2+4)$

 

$\iff 4(x^2+1)-4=(\sqrt{x^2+1}=1)(x^2+1+3)$

 

Đặt $\sqrt{x^2+1}=a$

 

$\iff 4a^2-4=(a+1)(a^2+3)$

 

Giải pt bậc 3 với ẩn a...

 

Với $x^2+y^2=1 \iff x^2=1-y^2$

 

(1) $\iff 4(1-y^2)=(\sqrt{2-y^2}+1)(-y^3-y^2+3y+3)$

 

$\iff 4(1-y)(1+y)=(\sqrt{2-y^2}+1)(y+1)(3-y^2)$

 

$\iff (y+1)[(\sqrt{2-y^2}+1)(3-y^2)-4+4y]=0$

 

$\iff y=-1$   v   $(\sqrt{2-x^2}+1)(3-y^2)+4y-4=0$

 

Với $y=-1 \iff x^2=1-1=0 \iff x=0$

 

Với $ (\sqrt{2-x^2}+1)(3-y^2)+4y-4=0$....

 

Pt này có 1 nghiệm vô tỉ và nghiệm vô tỉ của pt này cũng chính là nghiệm của hệ...

Edited by leminhnghiatt, 07-01-2016 - 21:07.

[robot3d]

 

 

 

ĐK: $y \not = 0$

 

(2) $\iff (y+2)(x^2+y^2-1)=0$

 

$\iff y=-2$   v   $x^2+y^2=1$

 

Với $y=-2$ thay vào (1) ta có: 

 

$\iff 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2+4)$

 

$\iff 4(x^2+1)-4=(\sqrt{x^2+1}=1)(x^2+1+3)$

 

Đặt $\sqrt{x^2+1}=a$

 

$\iff 4a^2-4=(a+1)(a^2+3)$

 

=> ptr vô nghiệm với a>=0

 

 

 

Với $x^2+y^2=1 $ (*) =>x^2=1-y^2, - căn 2<=y<= căn 2

xét hệ (*) với (1), ta có:

+ nếu x=0=>y=+-1 thỏa hệ

+nếu x khác 0, (1) tương đương:

$=>4\sqrt{x^2+1}-4=x^2-y^3+3y^2+2=>4\sqrt{2-y^2}+y^3+y^2=3y+7

=>\frac{4(1-y^2)}{\sqrt{2-y^2}+1}+(y+1)(y^2-3)=0

=>y=-1,hoac:A=0.$

xét A trên -căn 2<=y<=căn 2

f'(y)<=0 với mọi y thuộc dk, => A=f(y)<0 với mọi y thuộc dk

mà f(-195081307/353686165)=0 suy ra ptr có nghiệm duy nhất

thế vào tìm x và thử lại. 

p/s: mình gõ latex nhưng coppy vào k hiện được, bạn nào sữa latex giúp mình với. hóng       

Edited by robot3d, 08-01-2016 - 20:32.

[robot3d]

 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y+2) & \\ x^2+(y+1)^2 =2\left ( 1+\frac{1-x^2}{y} \right )& \end{matrix}\right.$

 

[Nguyen Kieu Phuong]

 

Với $x^2+y^2=1$ (*) $=>x^2=1-y^2,-\sqrt{2}\leq y \leq\sqrt{2}$

xét hệ (*) với (1), ta có:

+ nếu $x=0=>y=\pm1$ thỏa hệ

+nếu $x\neq0$ (1) tương đương:

$=>4\sqrt{x^2+1}-4=x^2-y^3+3y^2+2$$=>4\sqrt{2-y^2}+y^3+y^2=3y+7$

$=>\frac{4(1-y^2)}{\sqrt{2-y^2}+1}+(y+1)(y^2-3)=0$

$=>y=-1$ hoặc $A=0.$

xét A trên $\sqrt{2}\leq y\leq \sqrt{2}$

$f'(y)\leq 0$ với mọi y thuộc dk, => $A=f(y)<0$ với mọi y thuộc dk

mà f(-195081307/353686165)=0 suy ra ptr có nghiệm duy nhất

thế vào tìm x và thử lại. 

p/s: mình gõ latex nhưng coppy vào k hiện được, bạn nào sữa latex giúp mình với. hóng       

 

Edited by Nguyen Kieu Phuong, 08-01-2016 - 21:20.

[thansau99]

sorry mọi người mình viết đề nhầm:4x^{2}=(\sqrt{x^{2}+1}+1)(x^{2}-y^{3}+3y-2) (1) .lời giải hoàn chỉnh của bài toán này như sau:

giải phương trình (2) đươc:y=2 hoặc:x^{2}+y^{2}=1

  thay y=2 vào (1) giải bình thường

  Còn:x^{2}+y^{2}=1.Xét:

.nếu x=0 thay vào(1) giải bình thường

.nếu x khác 0, ta có:0\leq x,y\leq 1 (do x^{2} +y^{2}= 1)

(1)tương đương:\frac{4x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+1}= x^{2}-y^{3}+3y-2

\Rightarrow \frac{4x^{2}(\sqrt{x^{2}+1}-1)}{x^{2}}= x^{2}-y^{3}+3y-2

\Leftrightarrow 4\sqrt{x^{2}+1}-x^{2}+y^{3}-3y-2= 0

ta c/m:4\sqrt{x^{2}+1}-x^{2}>  4(cái này đúng với mọi x thuộc đoạn -1 đến 1)

Khi đó:4\sqrt{x^{2}+1}-x^{2}+y^{3}-3y-2> y^{3}-3y+2=(y-1)^{2}(y+2)\geq 0 với mọi y thuộc đoạn/-1,1/

suy ra vô nghiệm

một lần nữa sorry mọi người

[Nguyen Kieu Phuong]

 

sorry mọi người mình viết đề nhầm:$4x^{2}=(\sqrt{x^{2}+1}+1)(x^{2}-y^{3}+3y-2)$ (1) .lời giải hoàn chỉnh của bài toán này như sau:

giải phương trình (2) đươc:$y=2$ hoặc:$x^{2}+y^{2}=1$

  thay $y=2$ vào (1) giải bình thường

  Còn:$x^{2}+y^{2}=1$.Xét:

.nếu $x=0$ thay vào(1) giải bình thường

.nếu x khác 0, ta có:$0\leq x,y\leq 1$ (do $x^{2} +y^{2}= 1$)

(1)tương đương:$\frac{4x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+1}= x^{2}-y^{3}+3y-2$

$\Rightarrow \frac{4x^{2}(\sqrt{x^{2}+1}-1)}{x^{2}}= x^{2}-y^{3}+3y-2$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{x^{2}+1}-x^{2}+y^{3}-3y-2= 0$

ta c/m:$4\sqrt{x^{2}+1}-x^{2}>  4$(cái này đúng với mọi x thuộc đoạn -1 đến 1)

Khi đó:$4\sqrt{x^{2}+1}-x^{2}+y^{3}-3y-2> y^{3}-3y+2=(y-1)^{2}(y+2)\geq 0$ với mọi y thuộc đoạn$[-1;1]$

suy ra vô nghiệm

một lần nữa sorry mọi người

 

thêm 2 cái dấu $ ở đầu và cuối là gõ đc công thức nha bạn!

[robot3d]

thêm 2 cái dấu $ ở đầu và cuối là gõ đc công thức nha bạn!

s t thêm vào mà nó k có ra dc vậy bạn?       

[robot3d]

 

sorry mọi người mình viết đề nhầm:4x^{2}=(\sqrt{x^{2}+1}+1)(x^{2}-y^{3}+3y-2) (1) .lời giải hoàn chỉnh của bài toán này như sau:

giải phương trình (2) đươc:y=2 hoặc:x^{2}+y^{2}=1

  thay y=2 vào (1) giải bình thường

  Còn:x^{2}+y^{2}=1.Xét:

.nếu x=0 thay vào(1) giải bình thường

.nếu x khác 0, ta có:0\leq x,y\leq 1 (do x^{2} +y^{2}= 1)

(1)tương đương:\frac{4x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+1}= x^{2}-y^{3}+3y-2

\Rightarrow \frac{4x^{2}(\sqrt{x^{2}+1}-1)}{x^{2}}= x^{2}-y^{3}+3y-2

\Leftrightarrow 4\sqrt{x^{2}+1}-x^{2}+y^{3}-3y-2= 0

ta c/m:4\sqrt{x^{2}+1}-x^{2}>  4(cái này đúng với mọi x thuộc đoạn -1 đến 1)

Khi đó:4\sqrt{x^{2}+1}-x^{2}+y^{3}-3y-2> y^{3}-3y+2=(y-1)^{2}(y+2)\geq 0 với mọi y thuộc đoạn/-1,1/

suy ra vô nghiệm

một lần nữa sorry mọi người

 

để nguyên khỏi sửa đề thì ra bài mới       

[Korosensei]

làm 

 

 

 

Mình xin gửi ý tưởng của mình, vì ý tưởng này về sau vẫn chưa hoàn thiện nên mong các bạn đóng góp, hoàn thiện giúp mình ý tưởng...

 

 

ĐK: $y \not = 0$

 

(2) $\iff (y+2)(x^2+y^2-1)=0$

 

$\iff y=-2$   v   $x^2+y^2=1$

 

Với $y=-2$ thay vào (1) ta có: 

 

$\iff 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2+4)$

 

$\iff 4(x^2+1)-4=(\sqrt{x^2+1}=1)(x^2+1+3)$

 

Đặt $\sqrt{x^2+1}=a$

 

$\iff 4a^2-4=(a+1)(a^2+3)$

 

Giải pt bậc 3 với ẩn a...

 

Với $x^2+y^2=1 \iff x^2=1-y^2$

 

(1) $\iff 4(1-y^2)=(\sqrt{2-y^2}+1)(-y^3-y^2+3y+3)$

 

$\iff 4(1-y)(1+y)=(\sqrt{2-y^2}+1)(y+1)(3-y^2)$

 

$\iff (y+1)[(\sqrt{2-y^2}+1)(3-y^2)-4+4y]=0$

 

$\iff y=-1$   v   $(\sqrt{2-x^2}+1)(3-y^2)+4y-4=0$

 

Với $y=-1 \iff x^2=1-1=0 \iff x=0$

 

Với $ (\sqrt{2-x^2}+1)(3-y^2)+4y-4=0$....

 

Pt này có 1 nghiệm vô tỉ và nghiệm vô tỉ của pt này cũng chính là nghiệm của hệ...

 

thế nào mà phân tích được như vậy ??? 

[nhancccp]

 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2) & \\ x^2+(y+1)^2 =2\left ( 1+\frac{1-x^2}{y} \right )& \end{matrix}\right.$

 

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} & 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2)\\ & x^2+(y+1)^2=2\bigg(1+\frac{1-x^2}{y}\bigg) \end{matrix}\right.$

ĐK:$x \in \mathbb{R},y \neq 0$

Phương trình thứ hai tương đương với $y(x^2+y^2+2y+1)=-2(x^2-y-1)\Leftrightarrow x^2y+2x^2+y^3+2y^2-y-2=0\Leftrightarrow (y+2)(x^2+y^2-1)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=-2\\ x^2+y^2=1 \end{array}\right.$

TH1:Thay $y=-2$ vào $(1)$ ta được $3x^2=x^2\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow x^2(\sqrt{x^2+1}-3)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=\pm 2\sqrt{2} \end{array}\right.$

TH2:Thay $x^2+y^2=1\Rightarrow x^2=1-y^2$ vào $(1)$ ta được $4(1-y^2)=(-y^3-y^2+3y-1)(\sqrt{2-y^2}+1)\Leftrightarrow y^3-3y^2-3y+5=(-y^3-y^2+3y-1)\sqrt{2-y^2}$$\Rightarrow (y^3-3y^2-3y+5)^2=(-y^3-y^2+3y-1)^2(2-y^2)$$\Leftrightarrow y^8+2y^7-6y^6-14y^5+24y^4+30y^3-42y^2-18y+23=0$$\Leftrightarrow (y-1)^2(y+1)(y^5+3y^4-2y^3-14y^2+5y+23)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=1\Rightarrow x=0 \\ y=-1(ktm) \\ y^5+3y^4-2y^3-14y^2+5y+23=0(ktm) \end{array}\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y)=(0;1);(\pm 2\sqrt{2};-2);(0;-2)$

Edited by nhancccp, 31-03-2024 - 10:48.