Chủ đề này có 2 trả lời

[Kira Tatsuya]

$a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1.$ Chứng minh:

$\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\frac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\frac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ca+b^2}}\geq\sqrt{5}(a+b+c)$

 

[takarin1512]

$\sum \frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+1}}\geq \sum \frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}}=\sum \frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}=\sum \sqrt{a^2+ab+1}(1)$

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki:

$\left [ a+\frac{3}{2}\left ( a+b \right )+c \right ]^2\leq  \left ( 1+3+1 \right )\left [ a+\frac{3}{4}\left ( a+b \right )^2+c^2 \right ]\leq 5\left ( a^2+a^2+ab+b^2+c^2 \right )=5 \left ( a^2+ab+1 \right )\Rightarrow \sqrt{a^2+ab+1}\geq \frac{1}{\sqrt{5}}\left [ a+\frac{3}{2}\left ( a+b \right )+c \right ]\Rightarrow \sum \sqrt{a^2+ab+1}\geq \frac{1}{\sqrt{5}}\sum \left [ a+\frac{3}{2}\left ( a+b \right )+c \right ]=\sqrt{5}\sum a(2)$

$(1)(2)\Rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 08-01-2016 - 08:38

[quoccuonglqd]

$\sum \frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+1}}\geq \sum \frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}}=\sum \frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}=\sum \sqrt{a^2+ab+1}(1)$

Thế này là thế nào hả bạn