Chủ đề này có 2 trả lời

[luukhaiuy]

1,cho p,q là các số nguyên  chứng minh nếu pt  có nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó là nghiệm nguyên

2,cho 3 số nguyên a,b,c thỏa mãn a+b+c và c là số lẻ chứng minh không có nghiệm nguyên

[I Love MC]

1) Gọi $2$ nghiệm đó là $x_1,x_2$ . Theo Vieta : 
$x_1x_2=-p$ 
$x_1+x_2=q$ 
Giả sử $x_1,x_2$ đều  không là số nguyên. 
Đặt $x_1=\frac{a}{b},x_2=\frac{c}{d}$ ($(a,b)=1,(c,d)=1$) 
$x_1x_2=\frac{ac}{bd}=-p$ suy ra $a=d.k,c=k_1.b$ trong đó $k,k_1 \in Z$  
Ta có $x_1+x_2=\frac{dk}{b}+\frac{bk_1}{d}=\frac{d^2.k+b^2.k_1}{bd}=q$ 
$\Rightarrow A=d^2k+b^2.k_1=q.bd$ 
$A \vdots b \rightarrow d \vdots b$ 
$A \vdots d \rightarrow b \vdots d$  
Suy ra $b=d$  
Suy ra $x_1=\frac{a}{b}=\frac{dk}{d}=k$ là số nguyên tương tự với $x_2=k_1$ trái với điều giả sử 
$\Rightarrow$ đpcm 

[I Love MC]

2) Giả sử phương trình có $2$ nghiệm nguyên $x_1,x_2$ 
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$  
$a+b+c=a(1-x_1)(1-x_2)$ . Suy ra $a$ lẻ   và $b$ lẻ 
$\Delta=b^2-4ac$ phải là số chính phương.  
$b$ lẻ suy ra $b^2 \equiv 1 \pmod{8}$  
$\Delta=b^2-4ac=k^2$ 
Suy ra $(b-k)(b+k)=4ac$ 
$k^2$ là số chính phương lẻ 
Suy ra $VT=b^2-k^2 \vdots 8$ mà $4ac$ ko chia hết cho $8$ suy ra đpcm .