3 replies to this topic

[Namthemaster1234]

.$ x,y,z$ là các số thức không âm đôi một phân biệt. Chứng minh :

 

a,  $\sum \frac{x+y}{(x-y)^2} \geq \frac{9}{x+y+z}$

 

b, $\sum \frac{(x+y)^2}{(x-z)^2} \geq 1$

 

 

 

[hoctrocuaHolmes]

.$ x,y,z$ là các số thức không âm đôi một phân biệt. Chứng minh :

 

a,  $\sum \frac{x+y}{(x-y)^2} \geq \frac{9}{x+y+z}$

 

b, $\sum \frac{(x+y)^2}{(x-z)^2} \geq 1$

b)Chú ý bất đẳng thức sau:Cho $a,b,c>0$ ta có $\frac{a^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c-a)^{2}}\geq 1$ (1 dạng của IMO 2008)

$\sum \frac{(x+y)^2}{(x-z)^2} =\sum \frac{x^{2}}{(x-z)^{2}}+\sum \frac{x^{2}}{(z-y)^{2}}+2(\frac{xy}{(x-z)^{2}}+\frac{yz}{(y-x)^{2}}+\frac{zx}{(z-y)^{2}})\geq 1+\sum \frac{x^{2}}{(z-y)^{2}}+2(\frac{xy}{(x-z)^{2}}+\frac{yz}{(y-x)^{2}}+\frac{zx}{(z-y)^{2}})\geq 1(x,y,z\geq 0)\rightarrow \blacksquare $

Edited by HappyLife, 12-01-2016 - 16:01.

[hoctrocuaHolmes]

.$ x,y,z$ là các số thức không âm đôi một phân biệt. Chứng minh :

 

a,  $\sum \frac{x+y}{(x-y)^2} \geq \frac{9}{x+y+z}$

 

b, $\sum \frac{(x+y)^2}{(x-z)^2} \geq 1$

a)Mình không chắc nữa =))

$\sum \frac{x+y}{(x-y)^2}=\sum \frac{x-y+2y}{(x-y)^2}=\sum \frac{1}{x-y}+\sum \frac{2y}{(x-y)^2}\geq \sum \frac{1}{x}+\sum \frac{2y}{(x-y)^2}\geq \frac{9}{x+y+z}+\sum \frac{2y}{(x-y)^2}\geq \frac{9}{x+y+z}\rightarrow \blacksquare $

Dấu đẳng thức không xảy ra nên  $\sum \frac{x+y}{(x-y)^2} >\frac{9}{x+y+z}$

[Namthemaster1234]

a)Mình không chắc nữa =))

$\sum \frac{x+y}{(x-y)^2}=\sum \frac{x-y+2y}{(x-y)^2}=\sum \frac{1}{x-y}+\sum \frac{2y}{(x-y)^2}\geq \sum \frac{1}{x}+\sum \frac{2y}{(x-y)^2}\geq \frac{9}{x+y+z}+\sum \frac{2y}{(x-y)^2}\geq \frac{9}{x+y+z}\rightarrow \blacksquare $

Dấu đẳng thức không xảy ra nên  $\sum \frac{x+y}{(x-y)^2} >\frac{9}{x+y+z}$

Dấu đẳng thức xảy ra tại: $z=0$ và $x=y(2+\sqrt{3})$ và các hoán vị

Cả bđt đầu hình như cũng có dấu bằng