Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyen10A]

Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng:

 

      $ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}} \geq 1$

 

•  

 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 10-01-2016 - 11:34
Đề nghị bạn lần sau đặt tiêu đề cho đúng

[Dinh Xuan Hung]

 

Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng:

 

      $ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}} \geq 1$

 

•  

 

Áp dụng BĐT $Holder$ ta có:

 

$\left ( \sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} \right )^2\left [ \sum a(a^2+8bc) \right ]\geq (a+b+c)^3$

 

$\Leftrightarrow \left ( \sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} \right )^2\geq \frac{(a+b+c)^3}{\sum a^3+24abc}$

 

Cần chứng minh:$(a+b+c)^3\geq \sum a^3+24abc$

 

$\Leftrightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 24abc$ (Luôn đúng theo AM-GM)

 

Do đó $\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geq 1$

[Nguyenhuyen_AG]

Bất đẳng thức sau đây thú vị hơn \[\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \geqslant \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 10-01-2016 - 12:49

[NTA1907]

 

Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng:

 

      $ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}} \geq 1$

 

•  

 

Ta có:

$(\sqrt[3]{a^{4}}+\sqrt[3]{b^{4}}+\sqrt[3]{c^{4}})^{2}-(\sqrt[3]{a^{4}})^{2}=(\sqrt[3]{a^{4}}+\sqrt[3]{a^{4}}+\sqrt[3]{b^{4}}+\sqrt[3]{c^{4}})(\sqrt[3]{b^{4}}+\sqrt[3]{c^{4}})\geq 4\sqrt[4]{(\sqrt[3]{a^{2}bc})^{4}}.2\sqrt[3]{(bc)^{2}}=8\sqrt[3]{a^{2}}bc$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{a^{4}}+\sqrt[3]{b^{4}}+\sqrt[3]{c^{4}})^{2}\geq \sqrt[3]{a^{2}}(8bc+a^{2})$

$\Rightarrow \sqrt[3]{a^{4}}+\sqrt[3]{b^{4}}+\sqrt[3]{c^{4}}\geq \sqrt[3]{a}\sqrt{8bc+a^{2}}$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{8bc+a^{2}}}\geq \frac{\sqrt[3]{a^{4}}}{\sqrt[3]{a^{4}}+\sqrt[3]{b^{4}}+\sqrt[3]{c^{4}}}$

Tương tự cộng lại ta có đpcm

[Nguyen10A]

Cảm ơn tất cả mọi người!!!!