Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic
Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$
Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$
Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$
Bài 26: $\left\{\begin{matrix} &5(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})+2xy(1-\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})=35 \\ &\frac{3x-y}{x^{2}-y^{2}}+3x+y=9 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)
Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$
Bài 69: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=8 \\ &4xyz-(x+9y+16z)=12 \end{matrix}\right.$
Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}-3$
Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$
Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$
Bài 118: $\sqrt{\frac{2x}{x^{2}+1}}=\frac{\sqrt{1+x^{2011}}-\sqrt{1-x^{2011}}}{\sqrt{1+x^{2011}}+\sqrt{1-x^{2011}}}$
Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$
Bài 124: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x^{2}+3x-y}=\sqrt{y^{2}+4x}+x+1 \\ &y^{2}-3x-3+\sqrt{x+y}=\sqrt{x-4} \end{matrix}\right.$
Bài 139: $\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}+\sqrt[n]{\frac{a-x}{a+x}}=\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}+\sqrt[n]{\frac{b-x}{b+x}}(a,b> 0)$
Bài 153: $\left\{\begin{matrix} &2y^{2}-3y+1+\sqrt{y-1}=x^{2}+\sqrt{x}+xy \\ &\sqrt{2x+y}-\sqrt{-3x+2y+4}+3x^{2}-14x-8=0 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)
Bài 159: $x+\sqrt{x-1}=3+\sqrt{2x^{2}-10x+16}$(đã hoàn thành)
Bài 160: $6\sqrt{x^{2}+5}+12\sqrt[3]{x^{2}+3x+2}=3x^{2}-x+32$
Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$
c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$
Bài 162: $\left\{\begin{matrix} &3\sqrt{xy}(2x+3y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}-15xy \\ &\frac{1}{12x\sqrt{y}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{10}{3}-2\sqrt{xy}-18y\sqrt{x} \end{matrix}\right.$
Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$
Bài 165: $\sqrt{x^{2}+1}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-\frac{2}{3}}}=x$(đã hoàn thành)
Bài 167: $x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\geq \frac{35}{12}$(đã hoàn thành)
Bài 168: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}=9 \\ &\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-2}=3 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)
Bài 169: $\left\{\begin{matrix} &abc=1 \\ &\sum \sqrt{a^{2}+1}=\sqrt{2}(a+b+c) \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)
Bài 177: $\left\{\begin{matrix} &x^{4}y+\frac{1}{y}+x^{2}-7y=0 \\ &x^{3}y+x^{3}+x-5xy=0 \end{matrix}\right.$
Bài 181: $(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}=2x^{2}+2x+1$
Bài 182: $\sqrt[3]{7x-1}-\sqrt[3]{x^{2}-x-8}+\sqrt[3]{x^{2}-8x+1}=2$(đã hoàn thành)
Bài 69: Đề bài sẽ là: Tìm nghiệm dương của hệ:
$\left\{\begin{matrix} &x+y+z=8 \\ &4xyz-(x+9y+16z)=12 \end{matrix}\right.$
Lời giải:
Ta xét bài toán tổng quát sau:
Cho các tham số dương $ a, b, c $.
Tìm nghiệm dương của hệ: $ \left\{\begin{matrix} & x+y+z=a+b+c \\ & 4xyz-(a^{2}x+b^{2}y+c^{2}z)=abc\end{matrix}\right. $
Từ phương trình thứ hai ta suy ra: $ \dfrac{a^{2}}{4yz}+\dfrac{b^{2}}{4xz}+\dfrac{c^{2}}{4xy}+\dfrac{abc}{4xyz}=1 $ (*)
Đặt $ m=\dfrac{a}{2\sqrt{yz}}, n=\dfrac{b}{2\sqrt{xz}}, p=\dfrac{c}{2\sqrt{xy}}$
Từ (*) suy ra $ m^{2}+n^{2}+p^{2}+2mnp=1 $
Ta chứng minh bổ đề sau: Nếu $ m, n, p $ là các số dương thỏa mãn điều kiện $ m^{2}+n^{2}+p^{2}+2mnp=1 $ thì tồn tại một tam giác nhọn $ ABC $ sao cho $ m=cosA, n=cosB, p=cosC $
Chứng minh bổ đề:
Thật vậy nếu ta có:
$ cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C+2cosAcosBcosC=1 $
$ (cosA+cosBcosC)^{2}+ cos^{2}B+cos^{2}C-cos^{2}Bcos^{2}C=1 $
$ (cosA+cosBcosC)^{2}=(1-cos^{2}B)(1-cos^{2}C) $
$ (cosA+cosBcosC)^{2}=sin^{2}B.sin^{2}C $
$ cosA+cosBcosC=sinB.sinC $
$ cosA+cos(B+C)=0 $
$ cos\dfrac{A+B+C}{2}cos\dfrac{A-B-C}{2}=0 $ (**)
Do $ A, B, C \epsilon (0,\dfrac{\pi}{2}) $ nên $ A+B+C \epsilon (0,\dfrac{3\pi}{4}) $ và $ A-B-C\epsilon (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{4}) $
Kết hợp với (**) ta suy ra $ A+B+C=\pi $ (Đpcm)
Quay lại bài toán áp dụng bổ đề trên ta có: $ m=cosA, n=cosB, p=cosC $ hay $ \dfrac{a}{2\sqrt{yz}}=cosA, \dfrac{b}{2\sqrt{xz}}=cosB, \dfrac{c}{2\sqrt{xy}}=cosC $
Suy ra $ a=2\sqrt{yz}cosA, b=2\sqrt{xz}cosB, c=2\sqrt{xy}cosC $
Thay vào phương trình đầu ta có:
$ x+y+z=a+b+c=2\sqrt{yz}cosA+2\sqrt{xz}cosB+2\sqrt{xy}cosC $ hay $ x+y+z=2\sqrt{yz}cosA+2\sqrt{xz}cosB+2\sqrt{xy}cos(180-A-B)= 2\sqrt{yz}cosA+2\sqrt{xz}cosB+2\sqrt{xy}(sinA.sinB-cosA.cosB) $
Điều này tương đương với $ (\sqrt{x}sinB-\sqrt{y}sinA)^{2}+(\sqrt{x}cosB+\sqrt{y}cosA-\sqrt{z})^{2}=0 $
Suy ra $ \sqrt{x}sinB-\sqrt{y}sinA=\sqrt{x}cosB+\sqrt{y}cosA-\sqrt{z}=0 $
ta suy ra $ \sqrt{z}=\sqrt{x}cosB+\sqrt{y}cosA=\dfrac{a\sqrt{x}}{2\sqrt{xz}}+\dfrac{b\sqrt{y}}{2\sqrt{yz}} =\dfrac{a+b}{2\sqrt{z}} $ hay $ \sqrt{z}=\dfrac{a+b}{2\sqrt{z}} $
Suy ra $ z=\dfrac{a+b}{2} $
Tương tự $ x=\dfrac{b+c}{2}, y=\dfrac{a+c}{2} $
Vậy nghiệm tổng quát của hệ tổng quát trên là: $ (x, y, z)=(\dfrac{b+c}{2}, \dfrac{a+c}{2}, \dfrac{a+b}{2}) $
Bài toán là trường hợp của $ a=1, b=3, c=4 $
Nghiệm của hệ là $ (x, y, z)= (\dfrac{7}{2}, \dfrac{5}{2}, 2) $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 04-02-2016 - 20:06