Chủ đề này có 1255 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Tớ có mấy bài này khó mong giúp đỡ 
Bài 139 : Giải phương trình với $a,b$ là hai số dương cho trước 
$\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}+\sqrt[n]{\frac{a-x}{a+x}}=\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}+\sqrt[n]{\frac{b-x}{b+x}}$

_Trường hợp $n$ lẻ

ĐKXĐ : $x$ khác $\pm a$ và $\pm b$ $(1)$

Đặt $\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}=y$ và $\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}=z$ ( $y$ và $z$ khác $0$ )

Phương trình trở thành :
$y+\frac{1}{y}=z+\frac{1}{z}$
$<=>(y-z)(1-\frac{1}{yz})=0$

$<=>y=z$ hoặc $yz=1$

+ Khi $y=z$ thì ta có : $\frac{a+x}{a-x}=\frac{b+x}{b-x}=\frac{(a+x)-(b+x)}{(a-x)-(b-x)}=\frac{a-b}{a-b}=1$ suy ra $x=0$ ( nếu $a$ khác $b$ )

Nếu $a=b$ thì ta có phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn điều kiện $(1)$

+ Khi $yz=1$ ta có : $\frac{a+x}{a-x}.\frac{b+x}{b-x}=1<=>ab+(a+b)x+x^{2}=x^{2}-(a+b)x+ab<=>x=0$

 

_Trường hợp $n$ chẵn. Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b$

ĐKXĐ : $x > a$ hoặc $x < - b$ $(2)$

Đặt $\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}=m$ và $\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}=n$ ( $m$ và $n$ $> 0$ )

Phương trình trở thành :
$m+\frac{1}{m}=n+\frac{1}{n}$
$<=>(m-n)(1-\frac{1}{mn})=0$

$<=>m=n$ hoặc $mn=1$

+ Khi $m=n$ thì ta có : $\frac{a+x}{a-x}=\frac{b+x}{b-x}=\frac{(a+x)-(b+x)}{(a-x)-(b-x)}=\frac{a-b}{a-b}=1$ suy ra $x=0(KTM)$ ( nếu $a>b$ )

Nếu $a=b$ thì ta có phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn điều kiện $(2)$

+ Khi $mn=1$ ta có : $\frac{a+x}{a-x}.\frac{b+x}{b-x}=1<=>ab+(a+b)x+x^{2}=x^{2}-(a+b)x+ab<=>x=0$ ( không thỏa mãn điều kiện )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 04-02-2016 - 09:53

[royal1534]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 177: $\left\{\begin{matrix} &x^{4}y+\frac{1}{y}+x^{2}-7y=0 \\ &x^{3}y+x^{3}+x-5xy=0 \end{matrix}\right.$

 

ĐK:$y \neq 0$

Nếu $x=0$ thì từ $PT(1) \rightarrow \frac{1}{y}=7y \rightarrow y^2=\frac{1}{7}$

 

$\rightarrow (x,y)=(0,\pm \sqrt{\frac{1}{7}})$ là 1 nghiệm của hệ

 

Nếu $x\neq 0.$

 

Chia 2 vế của $PT(1)$ cho $y$ và $PT(2)$ cho $xy$ ta có hệ mới:

 

$\left\{\begin{matrix}  x^4+\frac{1}{y^2}+\frac{x^2}{y}=7  &\\ x^2+\frac{1}{y}+\frac{x^2}{y}=5 \end{matrix}\right.$ 

 

Đặt $x^2=a,\frac{1}{y}=b \Rightarrow \frac{x^2}{y}=ab $

 

Hệ được viết lại thành:

 

$\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+ab=7  & \\ a+b+ab=5 \end{matrix}\right.$

 

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2-ab=7  &\\a+b+ab=5 \end{matrix}\right.$

 

$\leftrightarrow  \left\{\begin{matrix}  u^2-v=7  &\\ u+v=5 \end{matrix}\right.$ ($u=a+b,v=ab$)

Đến đây ok rồi    

[leminhnghiatt]

Bài 186: $x^{3}-3x^{2}+2x-2-\sqrt{x+1}.\sqrt[3]{3x-1}=0$

 

ĐK: $x \geq -1$

 

$\iff x^3-3x^2+\sqrt{x+1}(x-1-\sqrt[3]{3x-1})+2(x-1)-(x-1)\sqrt{x+1}=0$

 

$\iff x^2(x-3)+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^3-3x^2}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}+(x-1)(2-\sqrt{x+1})=0$

 

$\iff x^2(x-3)+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2(x-3)}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}+\dfrac{(x-1)(3-x)}{\sqrt{x+1}+2}=0$

 

$\iff (x-3)[x^2+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}-\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+2}]=0$

 

$\iff x=3$  v  $x^2+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}-\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+2}]=0$ (1)

 

Vì $\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2} >0$ (với mọi $x$) nên ta xét $x^2-\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+2}$  (2)

 

(2) $\iff \dfrac{x^2\sqrt{x+1}+2x^2-x+1}{\sqrt{x+1}+2}$

 

Dễ thấy (2) luôn lớn hơn 0 vì $x^2\sqrt{x+1}+2x^2-x+1 >0$ $\Longrightarrow$ (1) vô nghiệm

 

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 04-02-2016 - 14:18

[I Love MC]

$\begin{cases} &x+y-\sqrt{xy}=3&\\&\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4& \end{cases}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 04-02-2016 - 15:55

[haichau0401]

$\begin{cases} &x+y-\sqrt{xy}=3&\\&\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4& \end{cases}$

Bài này hình như là Đề thi Đại học khối A năm 2005

Có khá nhiều cách giải:

Cách 1:

$hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{xy}+3 & \\ \sqrt{xy}+2\sqrt{xy+\sqrt{xy}+4}=11 & \end{matrix}\right.$

Đến đây có thể đặt $\sqrt{xy}=t$ rồi có thể bình phương $pt(2)$ để tìm $t$ (khá dễ)

Cách 2:

Ta có:

$(1)\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=3+3\sqrt{xy}\le 3+3.\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq 2\sqrt{3}$

Khi đó ta có:

$(2)=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=\sqrt{(-\sqrt{x})^2+1}+\sqrt{(-\sqrt{y})^2+1}\\\ge\sqrt{(-\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+4}\ge\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+4}=4=VP$

Đến đây xét dấu "="

[I Love MC]

Bài này hình như là Đề thi Đại học khối A năm 2005

Có khá nhiều cách giải:

Cách 1:

$hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{xy}+3 & \\ \sqrt{xy}+2\sqrt{xy+\sqrt{xy}+4}=11 & \end{matrix}\right.$

Đến đây có thể đặt $\sqrt{xy}=t$ rồi có thể bình phương $pt(2)$ để tìm $t$ (khá dễ)

Cách 2:

Ta có:

$(1)\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=3+3\sqrt{xy}\le 3+3.\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq 2\sqrt{3}$

Khi đó ta có:

$(2)=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=\sqrt{(-\sqrt{x})^2+1}+\sqrt{(-\sqrt{y})^2+1}\\\ge\sqrt{(-\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+4}\ge\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+4}=4=VP$

Đến đây xét dấu "="

2006 :v

[PlanBbyFESN]

 

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 124: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x^{2}+3x-y}=\sqrt{y^{2}+4x}+x+1 \\ &y^{2}-3x-3+\sqrt{x+y}=\sqrt{x-4} \end{matrix}\right.$

 

 

Bài 124:  ĐK: $x\geq 4;x+y\geq 0$

 

$PT1\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}+3x-y}-\sqrt{y^{2}+4x}=x+1\Leftrightarrow 4(x^{2}+3x-y)+y^{2}+4x-4\sqrt{(x^{2}+3x-y)(y^{2}+4x)}=x^{2}+2x+1\Leftrightarrow 3x^{2}+y^{2}+14x-4y-1=4\sqrt{(x^{2}+3x-y)(y^{2}+4x)}$  

 

Áp dụng AM-GM:

 

$4\sqrt{(x^{2}+3x-y)(y^{2}+4x)}\leq 2(x^{2}+7x+y^{2}-y)$

 

$\Rightarrow 3x^{2}+y^{2}+14x-4y-1\leq 2(x^{2}+7x+y^{2}-y)\Leftrightarrow x^{2}-(y+1)^{2}\leq 0\Leftrightarrow (x+y+1)(x-y-1)\leq 0\Rightarrow x\leq y+1$

              

Đã có liên hệ:  $x\leq y+1$       (1)

 

$\Rightarrow y\geq x-1\Rightarrow -y\leq 1-x\Rightarrow 2\sqrt{x^{2}+3x-y}\leq 2\sqrt{x^{2}+2x+1}=2(x+1)$

 

$\Rightarrow x+1+\sqrt{y^{2}+4x}\leq 2(x+1)\Rightarrow x+1\geq \sqrt{y^{2}+4x}$

 

$\Rightarrow x^{2}+2x+1\geq y^{2}+4x\Leftrightarrow (x-1)^{2}-y^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x+y-1)(x-y-1)\geq 0\Rightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x+y\geq 1 & \\ x\geq y+1 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x+y\leq 1 & \\ x\leq y+1 & \end{matrix}\right.\end{bmatrix}$

 

Nếu $\left\{\begin{matrix} x+y\leq 1 & \\ x\leq y+1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y\geq 2x-1>1$        (do $x\geq 4$)        

$\Rightarrow$  Loại !

 

$\Rightarrow x\geq y+1$        (2)

 

Từ (1) và (2) $\Rightarrow x=y+1$                $(\Rightarrow y\geq 3)$

 

Thay vào PT2 ta được:

 

$y^{2}-3y-6+\sqrt{2y+1}=\sqrt{y-3}$          

 

$\Leftrightarrow y(y-4)+(y-4)+(\sqrt{2y+1}-3)=\sqrt{y-3}-1\Leftrightarrow (y+1)(y-4)+\frac{2(y-4)}{\sqrt{2y+1}+3}=\frac{y-4}{\sqrt{y-3}+1}$

 

$\Leftrightarrow (y-4)\left [ y+1+\frac{2}{\sqrt{2y+1}+3}-\frac{1}{\sqrt{y-3}+1}\right ]=0$

 

Mặt khác lại có $y\geq 3$ nên hiển nhiên vế trong ngoặc vuông luôn lớn hơn 0.

 

$\Rightarrow y=4$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=5 & \\ y=4 & \end{matrix}\right.$         (TM)

 

Vậy ....................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 04-02-2016 - 17:50

[PlanBbyFESN]

Bài 192: Giải hệ trên tập số thực:

 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=\frac{1}{5} & \\ 4x^{2}+3x-\frac{57}{25}=-y(3x+1) & \end{matrix}\right.$

[anhquannbk]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 26: $\left\{\begin{matrix} &5(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})+2xy(1-\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})=35 \\ &\frac{3x-y}{x^{2}-y^{2}}+3x+y=9 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 69: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=8 \\ &4xyz-(x+9y+16z)=12 \end{matrix}\right.$

Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}-3$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 118: $\sqrt{\frac{2x}{x^{2}+1}}=\frac{\sqrt{1+x^{2011}}-\sqrt{1-x^{2011}}}{\sqrt{1+x^{2011}}+\sqrt{1-x^{2011}}}$

Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Bài 124: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x^{2}+3x-y}=\sqrt{y^{2}+4x}+x+1 \\ &y^{2}-3x-3+\sqrt{x+y}=\sqrt{x-4} \end{matrix}\right.$

Bài 139: $\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}+\sqrt[n]{\frac{a-x}{a+x}}=\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}+\sqrt[n]{\frac{b-x}{b+x}}(a,b> 0)$

Bài 153: $\left\{\begin{matrix} &2y^{2}-3y+1+\sqrt{y-1}=x^{2}+\sqrt{x}+xy \\ &\sqrt{2x+y}-\sqrt{-3x+2y+4}+3x^{2}-14x-8=0 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 159: $x+\sqrt{x-1}=3+\sqrt{2x^{2}-10x+16}$(đã hoàn thành)

Bài 160: $6\sqrt{x^{2}+5}+12\sqrt[3]{x^{2}+3x+2}=3x^{2}-x+32$ 

Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$ 

c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$ 

Bài 162: $\left\{\begin{matrix} &3\sqrt{xy}(2x+3y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}-15xy \\ &\frac{1}{12x\sqrt{y}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{10}{3}-2\sqrt{xy}-18y\sqrt{x} \end{matrix}\right.$ 

Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$ 

Bài 165: $\sqrt{x^{2}+1}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-\frac{2}{3}}}=x$(đã hoàn thành)

Bài 167: $x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\geq \frac{35}{12}$(đã hoàn thành)

Bài 168: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}=9 \\ &\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-2}=3 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 169: $\left\{\begin{matrix} &abc=1 \\ &\sum \sqrt{a^{2}+1}=\sqrt{2}(a+b+c) \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 177: $\left\{\begin{matrix} &x^{4}y+\frac{1}{y}+x^{2}-7y=0 \\ &x^{3}y+x^{3}+x-5xy=0 \end{matrix}\right.$

Bài 181: $(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}=2x^{2}+2x+1$

Bài 182: $\sqrt[3]{7x-1}-\sqrt[3]{x^{2}-x-8}+\sqrt[3]{x^{2}-8x+1}=2$(đã hoàn thành)

Bài 69: Đề bài sẽ là: Tìm nghiệm dương của hệ:

$\left\{\begin{matrix} &x+y+z=8 \\ &4xyz-(x+9y+16z)=12 \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Ta xét bài toán tổng quát sau:

Cho các tham số dương $ a, b, c $.

Tìm nghiệm dương của hệ: $ \left\{\begin{matrix} & x+y+z=a+b+c \\ & 4xyz-(a^{2}x+b^{2}y+c^{2}z)=abc\end{matrix}\right. $

Từ phương trình thứ hai ta suy ra: $ \dfrac{a^{2}}{4yz}+\dfrac{b^{2}}{4xz}+\dfrac{c^{2}}{4xy}+\dfrac{abc}{4xyz}=1 $ (*)

Đặt $ m=\dfrac{a}{2\sqrt{yz}}, n=\dfrac{b}{2\sqrt{xz}}, p=\dfrac{c}{2\sqrt{xy}}$

Từ (*) suy ra $ m^{2}+n^{2}+p^{2}+2mnp=1 $

Ta chứng minh bổ đề sau: Nếu $ m, n, p $ là các số dương thỏa mãn điều kiện $ m^{2}+n^{2}+p^{2}+2mnp=1 $ thì tồn tại một tam giác nhọn $ ABC $ sao cho $ m=cosA, n=cosB, p=cosC $

Chứng minh bổ đề:

Thật vậy nếu ta có:

$ cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C+2cosAcosBcosC=1 $

$ (cosA+cosBcosC)^{2}+ cos^{2}B+cos^{2}C-cos^{2}Bcos^{2}C=1 $

$ (cosA+cosBcosC)^{2}=(1-cos^{2}B)(1-cos^{2}C) $

$ (cosA+cosBcosC)^{2}=sin^{2}B.sin^{2}C $

$ cosA+cosBcosC=sinB.sinC $

$ cosA+cos(B+C)=0 $

$ cos\dfrac{A+B+C}{2}cos\dfrac{A-B-C}{2}=0 $ (**)

Do $ A, B, C \epsilon (0,\dfrac{\pi}{2}) $ nên $ A+B+C \epsilon (0,\dfrac{3\pi}{4}) $ và $ A-B-C\epsilon (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{4}) $

Kết hợp với (**) ta suy ra $ A+B+C=\pi $ (Đpcm)

Quay lại bài toán áp dụng bổ đề trên ta có: $ m=cosA, n=cosB, p=cosC $ hay $ \dfrac{a}{2\sqrt{yz}}=cosA, \dfrac{b}{2\sqrt{xz}}=cosB, \dfrac{c}{2\sqrt{xy}}=cosC $

Suy ra $ a=2\sqrt{yz}cosA, b=2\sqrt{xz}cosB, c=2\sqrt{xy}cosC $

Thay vào phương trình đầu ta có:

$ x+y+z=a+b+c=2\sqrt{yz}cosA+2\sqrt{xz}cosB+2\sqrt{xy}cosC $ hay $ x+y+z=2\sqrt{yz}cosA+2\sqrt{xz}cosB+2\sqrt{xy}cos(180-A-B)= 2\sqrt{yz}cosA+2\sqrt{xz}cosB+2\sqrt{xy}(sinA.sinB-cosA.cosB) $

Điều này tương đương với $ (\sqrt{x}sinB-\sqrt{y}sinA)^{2}+(\sqrt{x}cosB+\sqrt{y}cosA-\sqrt{z})^{2}=0 $

Suy ra $ \sqrt{x}sinB-\sqrt{y}sinA=\sqrt{x}cosB+\sqrt{y}cosA-\sqrt{z}=0 $

ta suy ra $ \sqrt{z}=\sqrt{x}cosB+\sqrt{y}cosA=\dfrac{a\sqrt{x}}{2\sqrt{xz}}+\dfrac{b\sqrt{y}}{2\sqrt{yz}} =\dfrac{a+b}{2\sqrt{z}} $ hay $ \sqrt{z}=\dfrac{a+b}{2\sqrt{z}} $

Suy ra $ z=\dfrac{a+b}{2} $

Tương tự $ x=\dfrac{b+c}{2}, y=\dfrac{a+c}{2} $

Vậy nghiệm tổng quát của hệ tổng quát trên là: $ (x, y, z)=(\dfrac{b+c}{2}, \dfrac{a+c}{2}, \dfrac{a+b}{2}) $

Bài toán là trường hợp của $ a=1, b=3, c=4 $

Nghiệm của hệ là $ (x, y, z)= (\dfrac{7}{2}, \dfrac{5}{2}, 2) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 04-02-2016 - 20:06

[I Love MC]

Tiếp 
Giải phương trình : $13.\sqrt{x^2-x^4}+9.\sqrt{x^2+x^4}=16$

[I Love MC]

Giải pt
$x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

[leminhnghiatt]

Giải pt
$x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

 

$\iff x-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}=\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}$

 

$\rightarrow x^2-2\sqrt{x^2-x}+1-\dfrac{1}{x}=x-\dfrac{1}{x}$

 

$\rightarrow x^2-x-2\sqrt{x^2-x}+1=0$

 

$\iff \sqrt{x^2-x}=1$

 

$\iff x^2-x-1=0$

 

....

[Kira Tatsuya]

Tiếp 
Giải phương trình : $13.\sqrt{x^2-x^4}+9.\sqrt{x^2+x^4}=16$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia , ta có :

$\sqrt{13}.\sqrt{13}\sqrt{x^2-x^4}+3\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{x^2+x^4}\leq \sqrt{(13+27)\left [ 13(x^2-x^4)+3(x^2+x^4) \right ]}\leq\sqrt{80(8x^2-5x^4)}\leq\sqrt{80.\frac{16}{5}}\leq 16$

tìm đc dấu bằng, bài này như có ai làm rồi :3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 04-02-2016 - 22:37

[leminhnghiatt]

Bài 192: Giải hệ trên tập số thực:

 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=\frac{1}{5} & \\ 4x^{2}+3x-\frac{57}{25}=-y(3x+1) & \end{matrix}\right.$

$\begin{cases} &  5x^2+5y^2-1=0 \\  &  4x^2+3x-\dfrac{57}{25}+3xy+y=0 \end{cases}$

 

Lấy $PT(1)+10PT(2) \iff (45x^2+5y^2+30xy)+(30x+10y)-\dfrac{119}{5}=0$

 

$\iff 5(3x+y)^2+30(3x+y)-\dfrac{119}{5}=0$

 

$\iff 25(3x+y)^2+150(3x+y)-119=0$

 

Đến đây ta được phương trình bậc 2 đối với ẩn $3x+y$...

[I Love MC]

$\iff x-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}=\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}$

 

$\rightarrow x^2-2\sqrt{x^2-x}+1-\dfrac{1}{x}=x-\dfrac{1}{x}$

 

$\rightarrow x^2-x-2\sqrt{x^2-x}+1=0$

 

$\iff \sqrt{x^2-x}=1$

 

$\iff x^2-x-1=0$

 

....

Áp dụng bất đẳng thức BCS 
$VP=\sqrt{(x-\frac{1}{x}).1}+\sqrt{\frac{1}{x}.(x-1)} \le \frac{x-\frac{1}{x}+1+\frac{1}{x}+x-1}{2}=x$

[I Love MC]

Giải phương trình $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2}$

[Minhnguyenthe333]

Giải phương trình $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2}$

ĐKXĐ: $\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1$
Ta có đánh giá sau:
$VT=1.\sqrt{\frac{1}{x}-1}\leqslant \frac{1}{2x}$ (theo AM-GM)
Mặt khác: $VP- \frac{1}{2x}=\frac{2x^3+3x^2-1}{2x(x^2+1)}=\frac{(x+1)^2(2x-1)}{2x(x^2+1)}\geqslant 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra nên. $x=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 05-02-2016 - 15:34

[I Love MC]

Bài tiếp : 
Giải phương trình $13[(x^2-3x+6)^2+(x^2-2x+7)^2]=(5x^2-12x+33)^2$

[quanguefa]

M.n không đánh số nên giờ chả biết là bài mấy nữa. Thôi đánh số đại vậy

Bài 200: Giải HPT $\left\{\begin{matrix} x^{4}-x^{3}=4y^{4}-4y^{3} & \\ 4y^{2}+xy-x=0& \end{matrix}\right.$

Bài 201: Giải PT: $x^{3}+x^{2}-4x+6-(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}-3x+6}=0$

[leminhnghiatt]

Bài tiếp : 
Giải phương trình $13[(x^2-3x+6)^2+(x^2-2x+7)^2]=(5x^2-12x+33)^2$

 

$\iff 13[(x^2-3x+6)^2+(x^2-2x+7)^2]=[2(x^2-3x+6)+3(x^2-2x+7)]^2$

 

Đặt $\begin{cases} &  x^2-3x+6=a \\  &  x^2-2x+7=b \end{cases}$

 

Ta có: $13(a^2+b^2)=(2a+3b)^2$

 

$\iff 13a^2+13b^2=4a^2+12ab+9b^2$

 

$\iff 9a^2-12ab+4b^2=0$

 

$\iff (3a-2b)^2=0$

 

$\iff 3a=2b$

 

$\iff 3(x^2-3x+6)=2(x^2-2x+7)$

 

....

 

Đến đây ta được pt bậc 2 đối với ẩn $x$