Chủ đề này có 1 trả lời

[Tran Thanh Truong]

Cho $x,y,z>0$  và thỏa mãn $xyz=x+y+z+2$. Chứng minh rằng:  $xyz(x-1)(y-1)(z-1)\leq 8$

[quoccuonglqd]

Đổi biến $(x,y,z)\rightarrow (\frac{b+c}{a},\frac{a+b}{c},\frac{c+a}{b})$

Bất đẳng thức trở thành $(a+b)(b+c)(c+a)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq 8a^{2}b^{2}c^{2}$

Đổi biến $(a+b-c,b+c-a,c+a-b)\rightarrow (x,y,z)$

Bất đẳng thức trở thành $(x^{2}+2xy+xz)(z^{2}+2xz+zy)(y^{2}+2yz+xy)\leq (x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}$

$\Leftrightarrow \sum x^{4}y^{2}+2\sum x^{3}y^{3}\geq \sum xy^{2}z^{3}+6a^{2}b^{2}c^{2}$

Áp dụng AM-GM $x^{4}y^{2}+x^{2}z^{4}\geq 2x^{3}yz^{2}$

$a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}\geq 3a^{2}b^{2}c^{2}$