1 reply to this topic

[huya1k43pbc]

$Cho a,b,c>0 thoaman: ab+bc+ca=3.CMR: a^2+b^2+c^2+3\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3a^2b^2c^2$

[baopbc]

Lời giải của em thế này ạ!

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-6+2abc(a+b+c)-3a^{2}b^{2}c^{2}\geq 0$( do $ab+bc+ac=3$)

$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}+2abc(a+b+c)-3a^{2}b^{2}c^{2}\geq 12$

$\Leftrightarrow (a+b+c-abc)(a+b+c+3abc)\geq 12 (*)$

Do $ab+bc+ca=3$ nên $a+b+c\geq 3,abc\leq 1$

Đặt $a+b+c=3+x$, $abc=1-y$ thì $x,y\geq 0$ và $y< 1$

$(*)\Leftrightarrow (2+x+y)(6-y+x)\geq 12$

$\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+8x+4y\leq 0$

Do $y< 1$ nên bất đẳng thức cuối đúng, vậy ta có đpcm./

Edited by baopbc, 13-01-2016 - 17:01.