$Cho a,b,c>0 thoaman: ab+bc+ca=3.CMR: a^2+b^2+c^2+3\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3a^2b^2c^2$
$a^2+b^2+c^2+3\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3a^2b^2c^2$
Started By huya1k43pbc, 12-01-2016 - 21:47
#2
Posted 13-01-2016 - 16:59
Lời giải của em thế này ạ!
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-6+2abc(a+b+c)-3a^{2}b^{2}c^{2}\geq 0$( do $ab+bc+ac=3$)
$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}+2abc(a+b+c)-3a^{2}b^{2}c^{2}\geq 12$
$\Leftrightarrow (a+b+c-abc)(a+b+c+3abc)\geq 12 (*)$
Do $ab+bc+ca=3$ nên $a+b+c\geq 3,abc\leq 1$
Đặt $a+b+c=3+x$, $abc=1-y$ thì $x,y\geq 0$ và $y< 1$
$(*)\Leftrightarrow (2+x+y)(6-y+x)\geq 12$
$\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+8x+4y\leq 0$
Do $y< 1$ nên bất đẳng thức cuối đúng, vậy ta có đpcm./
Edited by baopbc, 13-01-2016 - 17:01.
- tpdtthltvp likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users