Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{b}{\sqrt{a+c-b}}+\frac{c}{\sqrt{a+b-c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c-a}}\geq \sum \sqrt{a}$
Bắt đầu bởi Tran Thanh Truong, 15-01-2016 - 13:03
#1
Đã gửi 15-01-2016 - 13:03
Tran Thanh Truong
-
- Thành viên
-
- 143 Bài viết
Trung sĩ
- thaibuithd2001 yêu thích
TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG
*Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của tư duy logic*
#2
Đã gửi 15-01-2016 - 15:44
Nguyenhuyen_AG
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 945 Bài viết
Trung úy
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{b}{\sqrt{a+c-b}}+\frac{c}{\sqrt{a+b-c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
\[\sum \frac{a}{\sqrt{b+c-a}} \geqslant \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\displaystyle \sum \sqrt{b+c-a}}.\]
Như vậy ta chỉ cần chứng minh \[\sqrt{b+c-a} + \sqrt{a+c-b} + \sqrt{a+b-c} \leqslant \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}.\]
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo đánh giá cơ bản $\sqrt{x}+\sqrt{y} \leqslant \sqrt{2(x+y)}$ trong đó $x,\,y \geqslant 0.$
- tpdtthltvp, phamngochung9a, taythuyanh11 và 3 người khác yêu thích
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport
Ho Chi Minh City University Of Transport
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
