Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca>0. CMR: \[\sum \frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{5}{4}\geq \frac{6\left ( ab+bc+ca \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}\]
Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca>0
Bắt đầu bởi quynhquynh, 17-01-2016 - 15:09
#1
Đã gửi 17-01-2016 - 15:09
#2
Đã gửi 22-01-2016 - 08:46
$\sum \frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{5}{4}\geqslant \sum \frac{ab}{2(a^{2}+b^{2})}+\frac{5}{4}=\sum \frac{(a+b)^{2}}{4(a^{2}+b^{2})}+\frac{1}{2}$
Áp dụng C-S $\sum \frac{(a+b)^{2}}{4(a^{2}+b^{2})}+\frac{1}{2}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+\frac{1}{2}$
Biến đổi bdt thành $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+\frac{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2(a+b+c)^{2}}+\frac{1}{2}\geqslant 3+\frac{3(ab+bc+ca)}{2(a+b+c)^{2}}$
$\Leftrightarrow 1\geqslant \frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}$(luôn đúng)
- quynhquynh yêu thích
#3
Đã gửi 22-01-2016 - 14:17
$\sum \frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{5}{4}\geqslant \sum \frac{ab}{2(a^{2}+b^{2})}+\frac{5}{4}=\sum \frac{(a+b)^{2}}{4(a^{2}+b^{2})}+\frac{1}{2}$Áp dụng C-S $\sum \frac{(a+b)^{2}}{4(a^{2}+b^{2})}+\frac{1}{2}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+\frac{1}{2}$Biến đổi bdt thành $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+\frac{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2(a+b+c)^{2}}+\frac{1}{2}\geqslant 3+\frac{3(ab+bc+ca)}{2(a+b+c)^{2}}$$\Leftrightarrow 1\geqslant \frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}$(luôn đúng)
Sau khi biến đổi và đánh giá em đưa bài toán về chứng minh
\[\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+\frac{1}{2} \geqslant \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}.\]
Bất đẳng thức này sai với $a=1,\,b=\frac{1}{2},\,c=1.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 22-01-2016 - 23:08
- quynhquynh, haichau0401, quoccuonglqd và 1 người khác yêu thích
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport
Ho Chi Minh City University Of Transport
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh