3 replies to this topic

[128]

$Cho  k  \epsilon \mathbb{N} , k>1 .Cmr$ ton tai huu han x thoa man:

    $\sigma (x)-x=k$

Edited by 128, 18-01-2016 - 11:42.

[the man]

$Cho  k  \epsilon \mathbb{N} , k>1 .Cmr$ ton tai huu han x thoa man:

    $\sigma (x)-x=k$

Tớ nghĩ là sẽ xét phân tích tiêu chuẩn của $n$ và công thức rồi lắp vào.

Do có sự tham gia của các số nguyên tố nên chỉ tồn tại hữu hạn

[Ego]

$Cho  k  \epsilon \mathbb{N} , k>1 .Cmr$ ton tai huu han x thoa man:

    $\sigma (x)-x=k$

Về ý tưởng thì bài này đơn giản 1 tí. Giả sử tồn tại vô hạn $x$ thỏa mãn điều kiện trên. Gọi i là chỉ số sao cho số nguyên tố thứ $p_{i}$ là số nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn $p_{i} > k$.
Để ý $x$ là số nguyên tố thì $\sigma (x) - x = 1$ vô lí, do đó ta chỉ quan tâm $x$ là hợp số
Vậy nếu $p_{j}\mid x \; (j \ge i)$ thì dễ thấy $\sigma (x) - x \ge p_{i} > k$ (vô lí).
Do đó $x$ trong phân tích chính tắc chỉ có thể gồm các số nguyên tố $p_{1} = 2; p_{2} = 3; ...; p_{i - 1}$
Đặt $x = p_{1}^{a_{1}}.p_{2}^{a_{2}}\dots p_{i - 1}^{a_{i - 1}}$. Nhận xét 1 điều là $\sigma (x.p_{k}) - x.p_{k} > \sigma (x) - x$.
Do đó $a_{i}$ bị chặn trên.
Điều này mâu thuẫn với việc có vô hạn số nguyên thỏa mãn

Edited by Ego, 21-01-2016 - 23:48.

[Visitor]

$Cho  k  \epsilon \mathbb{N} , k>1 .Cmr$ ton tai huu han x thoa man:

    $\sigma (x)-x=k$

Cách khác đơn giản hơn nhé

Nếu $x$ là số nguyên tố thì vô lí. Xét $x$ là hợp số. Gọi $d$ là một ước của $x$ thì hiển nhiên $\frac{x}{d}$ cũng là ước của $x$ 

Ta chọn $d$ là ước nguyên tố của $x$ mà ko vượt quá $\sqrt{x}$ ( luôn tồn tại )

Suy ra $\sigma (x)\geq 1+x+\frac{x}{d}= 1+x+\frac{x}{d}+d-d\geq1+x+2\sqrt{x}-d\geq 1+x+\sqrt{x}$

kéo theo $\sigma (x)-x\geq 1+\sqrt{x}$.  Do đó sẽ có hữu hạn $x$ thỏa đề.

Edited by Visitor, 27-01-2016 - 13:57.