Chủ đề này có 4 trả lời

[hthang0030]

Cho a,b,c không âm.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{abc+1}$

[ThachAnh]

Cho a,b,c không âm.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{abc+1}$

Bằng phương pháp biến đổi tương đương, ta dễ dàng cm được bđt cơ bản sau: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ (với $xy\geq 1$)

Áp dụng vào bài toán ta có: $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}$ (1)

$\frac{1}{1+c^{3}}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{c^{4}ab}}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}+\frac{2}{1+\sqrt{c^{4}ab}}\geq 2.\frac{2}{1+abc}$

=> $\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{abc+1}$ (đpcm)

[ThachAnh]

Bạn ơi, tớ bổ sung một chút, cái đề của bạn thiếu dữ kiện a,b,c $\geq$ 1

Vì nếu a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0;1] thì cái dấu của bđt sẽ đổi ngược lại 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThachAnh: 18-01-2016 - 17:55

[Element hero Neos]

Bằng phương pháp biến đổi tương đương, ta dễ dàng cm được bđt cơ bản sau: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ (với $xy\geq 1$)

Áp dụng vào bài toán ta có: $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}$ (1)

$\frac{1}{1+c^{3}}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{c^{4}ab}}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}+\frac{1}{1+abc}\geq$$ \frac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}+\frac{2}{1+\sqrt{c^{4}ab}}\geq 2.\frac{2}{1+abc}$

=> $\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{abc+1}$ (đpcm)

 

Chỗ màu đỏ là sao vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 18-01-2016 - 20:28

[chaubee2001]

Chỗ màu đỏ là sao vậy?

đúng rồi đó, áp dụng cái bđt đầu với $x=\sqrt{a^3b^3}$ và $y=\sqrt{c^4ab}$