5 replies to this topic

[Lin Kon]

1.Cho $a,b,c$ là các số dương. Tìm min của $A=\frac{4a}{a+b+2c}+\frac{b+3c}{2a+b+c}-\frac{8c}{a+b+3c}$.

2. Cho $a,b,c$ dương và $a+b+c=1$. CMR:

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\geq 1+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt{ab}$

[PlanBbyFESN]

2. Cho $a,b,c$ dương và $a+b+c=1$. CMR:

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\geq 1+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt{ab}$

Do a+b+c=1. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{(a+\sqrt{bc})^{2}}=a+\sqrt{bc}$

Tương tự:

$\sqrt{b+ca}\geq b+\sqrt{ac}$

$\sqrt{c+ab}\geq c+\sqrt{ab}$

Cộng vế theo vế kết hợp giả thiết a+b+c=1 suy ra ĐPCM

[Element hero Neos]

1.Cho $a,b,c$ là các số dương. Tìm min của $A=\frac{4a}{a+b+2c}+\frac{b+3c}{2a+b+c}-\frac{8c}{a+b+3c}$.

Nốt bài $1$ luôn

Đặt: $\left\{\begin{matrix} x=a+2b+c\\ y=a+b+2c\\ z=a+b+3c\\ \end{matrix}\right.$

Suy ra: $\left\{\begin{matrix} c=z-y\\ b=x+z-2y\\ a+3c=2y-x \end{matrix}\right.$

Do đó: $P$$=\frac{2y-z}{x}+\frac{4(x+z-2y)}{y}-\frac{8(z-y)}{z}$

                  $=-17+(\frac{2y}{x}+\frac{4x}{y})+(\frac{4z}{y}+\frac{8y}{z})$

                  $\geq -17+2\sqrt{8}+2\sqrt{32}=12\sqrt{2}-17(AM-GM)$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2y}{x}=\frac{4x}{y}\\ \frac{4z}{y}=\frac{8y}{z}\\ x,y,z>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 4x^{2}=2y^{2}=z^{2}$

Khi đó: $\left\{\begin{matrix} a+b+2c=\sqrt{2}(a+2b+c)\\ a+b+3c=2(a+2b+c) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=(1+\sqrt{2})a\\ c=(4+3\sqrt{2})a \end{matrix}\right., \forall a \in \mathbb{R}$

Vậy $min P=12\sqrt{2}-17$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} b=(1+\sqrt{2})a\\ c=(4+3\sqrt{2})a \end{matrix}\right.$ $, \forall a \in \mathbb{R}$

Edited by Element hero Neos, 18-01-2016 - 19:45.

[Lin Kon]

Nốt bài $1$ luôn
Đặt: $\left\{\begin{matrix} x=a+2b+c\\ y=a+b+2c\\ z=a+b+3c\\ \end{matrix}\right.$
Suy ra: $\left\{\begin{matrix} c=z-y\\ b=x+z-2y\\ a+3c=2y-x \end{matrix}\right.$
Do đó: $P$$=\frac{2y-z}{x}+\frac{4(x+z-2y)}{y}-\frac{8(z-y)}{z}$
                  $=-17+(\frac{2y}{x}+\frac{4x}{y})+(\frac{4z}{y}+\frac{8y}{z})$
                  $\geq -17+2\sqrt{8}+2\sqrt{32}=12\sqrt{2}-17(AM-GM)$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2y}{x}=\frac{4x}{y}\\ \frac{4z}{y}=\frac{8y}{z}\\ x,y,z>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 4x^{2}=2y^{2}=z^{2}$
Khi đó: $\left\{\begin{matrix} a+b+2c=\sqrt{2}(a+2b+c)\\ a+b+3c=2(a+2b+c) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=(1+\sqrt{2})a\\ c=(4+3\sqrt{2})a \end{matrix}\right., \forall a \in \mathbb{R}$
Vậy $min P=12\sqrt{2}-17$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} b=(1+\sqrt{2})a\\ c=(4+3\sqrt{2})a \end{matrix}\right.$ $, \forall a \in \mathbb{R}$

Căn bản bài làm với đề bài không liên quan....

[Element hero Neos]

Căn bản bài làm với đề bài không liên quan....

là sao?

bài làm cho đề bài ấy thì không liên quan ở chỗ nào?

[Lin Kon]

Bạn đặt ẩn không khớp với đề bài......
( cơ mà kết quả vẫn đúng )

Edited by Lin Kon, 18-01-2016 - 20:52.