Chủ đề này có 3 trả lời

[Truong Gia Bao]

1) Cho các số thực dương $x,y,z$ lớn hơn $\frac{1}{2}$ thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 4$

Chứng minh rằng: $(2x-1)(2y-1)(2z-1) \leq \frac{1}{8}$

2) Cho 3 số thực dượng $a,b,c$: $a+b+c=3$. CMR: $\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{ca}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{3}{2}$

 

[lequangnghia]

2) Cho 3 số thực dượng $a,b,c$: $a+b+c=3$. CMR: $\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{ca}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{3}{2}$

Ta có $\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{bc}{2}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\leq \frac{1}{2}(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c})$

Thực hiện 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế. áp dụng a+b+c=3 ta thu được điều phải chứng minh

[lequangnghia]

1) Cho các số thực dương $x,y,z$ lớn hơn $\frac{1}{2}$ thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 4$

Chứng minh rằng: $(2x-1)(2y-1)(2z-1) \leq \frac{1}{8}$

Đặt $2x-1=a\Rightarrow x=\frac{a+1}{2}$

Bài toán trở thành

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 2$

Chứng minh $abc\leq \frac{1}{8}$

Từ giả thiết $\frac{1}{a+1}\geq 1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự ta có $\frac{1}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}},\frac{1}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}$

Nhân theo vế ta có $\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq \frac{8abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

$\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}$

[anhquannbk]

1) Cho các số thực dương $x,y,z$ lớn hơn $\frac{1}{2}$ thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 4$

Chứng minh rằng: $(2x-1)(2y-1)(2z-1) \leq \frac{1}{8}$

2) Cho 3 số thực dượng $a,b,c$: $a+b+c=3$. CMR: $\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{ca}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{3}{2}$

Bài 2

: Áp dụng BĐT trung bình nhân và trung bình điều hòa ta có:

$ \sqrt{(a+b)(a+c)}\ge \dfrac{2}{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}} $

suy ra $ \dfrac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}) $

Tương tự ta có: $ \dfrac{ac}{\sqrt{(b+a)(b+c)}} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{ac}{b+a}+\dfrac{ac}{b+c}) $

$ \dfrac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}) $

Cộng vế theo vế BĐT ta có

$ VT\le \dfrac{1}{2}(\dfrac{c(a+b)}{a+b}+\dfrac{b(a+c)}{a+c}+\dfrac{a(b+c)}{b+c})=\dfrac{1}{2}(a+b+c)=\dfrac{3}{2} $

Dấu = xảy ra khi $ a=b=c=1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 18-01-2016 - 21:37