Cho a,b,c dương. Chứng minh
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}$
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}$
Started By lequangnghia, 19-01-2016 - 12:33
#2
Posted 19-01-2016 - 13:14
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 posts
Thượng úy
Cho a,b,c dương. Chứng minh
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}$
Ta chứng minh: $\frac{a^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{9}\geq \frac{8}{9}.\frac{a}{b+c}$
$\Leftrightarrow 9a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8a(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow 9a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8a(a(b+c)+bc)$
$\Leftrightarrow a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8abc$
$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$(luôn đúng theo Cô-si)
Tương tự cộng các bđt lại ta có đpcm
- tpdtthltvp, royal1534, haichau0401 and 1 other like this
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#3
Posted 19-01-2016 - 13:23
tpdtthltvp
-
- Điều hành viên THCS
-
- 831 posts
Trung úy
Vì sao $9a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8a(a(b+c)+bc)\Leftrightarrow a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8abc$ vậy ạ?
- huykietbs likes this
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#4
Posted 19-01-2016 - 13:25
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 posts
Thượng úy
Vì sao $9a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8a(a(b+c)+bc)\Leftrightarrow a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8abc$ vậy ạ?
$9a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8a(a(b+c)+bc)$
$\Leftrightarrow 9a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8a^{2}(b+c)+8abc$
Đến đây chuyển vế là được
- tpdtthltvp and haichau0401 like this
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#5
Posted 19-01-2016 - 15:11
Nguyen Minh Hai
-
- Thành viên
-
- 666 posts
Thiếu úy
Cho a,b,c dương. Chứng minh
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}$
BĐT $\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1 \geqslant \frac{8}{9}\left ( \sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2} \right )$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{2(ab+bc+ca)} \geqslant \frac{8}{9}\sum \frac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}$
$\Leftrightarrow (a-b)^2S_c+(b-c)^2S_a+(c-a)^2S_b \geqslant 0$
trong đó $S_c=\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{4}{9(a+c)(b+c)}, S_b, S_a$ xác định tương tự và dễ dàng chứng minh được $S_a,S_b,S_c \geqslant 0$
Edited by Nguyen Minh Hai, 19-01-2016 - 15:11.
- lequangnghia likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
