Chủ đề này có 1 trả lời

[Lin Kon]

1. Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xyz=8$. CMR:

$\frac{x^2}{x^2+2x+4}+\frac{y^2}{y^2+2y+4}+\frac{z^2}{z^2+2z+4}\geq 1$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 19-01-2016 - 21:46

[hoctrocuaHolmes]

1. Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xyz=8$. CMR:

$\frac{x^2}{x^2+2x+4}+\frac{y^2}{y^2+2y+4}+\frac{z^2}{z^2+2z+4}\geq 1$

Đặt $x=\frac{2}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{2}{c}\Rightarrow abc=1$ và ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}\geq 1$ (dạng quen thuộc )

Đặt $a=\frac{nm}{p^{2}};b=\frac{np}{m^{2}};a=\frac{mp}{n^{2}}$ thì ta cần cm $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+n^2p^2+m^2np}\geq 1$

Thật vậy áp dụng Cauchy-Schwarz ta có $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+n^2p^2+m^2np}\geq \frac{(m^2+n^2+p^2)^{2}}{\sum m^4+mnp(m+n+p)+\sum m^2n^2}\geq \frac{(m^2+n^2+p^2)^{2}}{\sum m^4+\sum m^2n^2+\sum m^2n^2}=1\rightarrow \blacksquare$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=2$