Chủ đề này có 2 trả lời

[ViLQD03]

Cho x,y,z là các số thực dương, x + y + z = 3 , a $\geq$ 1. CMR

$\frac{1}{a^{x}}+\frac{1}{a^{y}}+\frac{1}{a^{z}} \geq \frac{x}{a^{x}} +\frac{y}{a^{y}}+\frac{z}{a^{z}}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 20-01-2016 - 19:57

[quan1234]

Cho x,y,z là các số thực dương, x + y + z = 3 , a $\geq$ 1. CMR

$\frac{1}{a^{x}}+\frac{1}{a^{y}}+\frac{1}{a^{z}} \geq \frac{x}{a^{x}} +\frac{y}{a^{y}}+\frac{z}{a^{z}}$

Với x=1 bđt luôn đúng.

Với $x>1$, ta có 

$\sum (x-y)(\frac{1}{a^x}-\frac{1}{a^y})\leq 0\Leftrightarrow 2\sum \frac{x}{a^x}\leq \sum \frac{y+z}{a^x}\Rightarrow 3\sum \frac{x}{a^x}\leq (x+y+z)(\frac{1}{a^x}+\frac{1}{a^y}+\frac{1}{a^z})\Leftrightarrow \sum \frac{x}{a^x}\leq \sum \frac{1}{a^x}$

[quoccuonglqd]

Cách khác 

Giả sử $x\geqslant y\geqslant z$

Dễ thấy $(x,y,z)$ và $(\frac{1}{a^{x}},\frac{1}{a^{y}},\frac{1}{a^{z}})$ là 2 bộ ngược chiều

Áp dụng Trebuchev $\frac{x}{a^{x}}+\frac{y}{a^{y}}+\frac{z}{a^{z}}\leqslant \frac{(x+y+z)}{3}(\frac{1}{a^{x}}+\frac{1}{a^{y}}+\frac{1}{a^{z}})$