Chủ đề này có 4 trả lời

[I Love MC]

Tìm các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn : $\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$ 
Brazilian TST 

 

[I Love MC]

Mở rộng .  
Russian TST 2007 : Tồn tại hay không cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn  $\frac{x^{7}-1}{x-1}=y^{p}-1$ với $p$ là số nguyên tố dạng $p=3k+2$ 

[lequangnghia]

 

Tìm các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn : $\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$ 
Brazilian TST 

 

Giả sữ p là ước nguyên tố của $\frac{x^{7}-1}{x-1}=x^{6}+....+x+1$ thì p chia hết cho 7 hay chi 7 dư 1

Nếu x chia 7 dư 1 thì $\frac{x^{7}-1}{x-1}=x^{6}+...+x+1$ chia hết cho 7

Vậy $\frac{x^{7}-1}{x-1}\vdots p$ nên p chia hết cho 7, mà p nguyên tố nên p=7

Vậy $p\equiv 0$ (mod 7)

Nếu $(p,x-1)=7$ thì vì $\frac{x^{7}-1}{x-1}\vdots p$ nên $x^{7}\equiv 1$ (mod p)

Từ $(x^{7}-1)\vdots p\Rightarrow (x,p)=1$

Vậy $x^{p-1}\equiv 1$ (mod p)

Nếu (p-1,7)=1 thì có m, n nguyên sao cho $m(p-1)+n.7=1$

Từ đó $x=x^{m(p-1)+n.7}=(x^{p-1})^{m}.(x^{7})^{n}\equiv 1$  (mod p)

$\Rightarrow x-1\vdots p$ (vô lý)

Từ đây mọi ước dương của d của $\frac{x^{7}-1}{x-1}$ đều thỏa $d\equiv 0$ (mod 7) hay  $d\equiv 1$ (mod 7)

Giả sử x,y là nghiệm

$\Rightarrow$ y chia 7 dư 1 hay y chia 7 dư 2 và $y^{4}+...+1$ chia 7 dư 0 hay chia 7 dư 1

Nếu y chia 7 dư 1 thì $y^{4}+...+1$ chia 7 dư 5 hay y chia 7 dư 2 thì $y^{4}+...+1$ chia 7 dư 3.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Với ý tưởng tương tự, không khó để bạn giải bài toán tổng quát

[I Love MC]

Giả sữ p là ước nguyên tố của $\frac{x^{7}-1}{x-1}=x^{6}+....+x+1$ thì p chia hết cho 7 hay chi 7 dư 1

Nếu x chia 7 dư 1 thì $\frac{x^{7}-1}{x-1}=x^{6}+...+x+1$ chia hết cho 7

Vậy $\frac{x^{7}-1}{x-1}\vdots p$ nên p chia hết cho 7, mà p nguyên tố nên p=7

Vậy $p\equiv 0$ (mod 7)

Nếu $(p,x-1)=7$ thì vì $\frac{x^{7}-1}{x-1}\vdots p$ nên $x^{7}\equiv 1$ (mod p)

Từ $(x^{7}-1)\vdots p\Rightarrow (x,p)=1$

Vậy $x^{p-1}\equiv 1$ (mod p)

Nếu (p-1,7)=1 thì có m, n nguyên sao cho $m(p-1)+n.7=1$

Từ đó $x=x^{m(p-1)+n.7}=(x^{p-1})^{m}.(x^{7})^{n}\equiv 1$  (mod p)

$\Rightarrow x-1\vdots p$ (vô lý)

Từ đây mọi ước dương của d của $\frac{x^{7}-1}{x-1}$ đều thỏa $d\equiv 0$ (mod 7) hay  $d\equiv 1$ (mod 7)

Giả sử x,y là nghiệm

$\Rightarrow$ y chia 7 dư 1 hay y chia 7 dư 2 và $y^{4}+...+1$ chia 7 dư 0 hay chia 7 dư 1

Nếu y chia 7 dư 1 thì $y^{4}+...+1$ chia 7 dư 5 hay y chia 7 dư 2 thì $y^{4}+...+1$ chia 7 dư 3.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Với ý tưởng tương tự, không khó để bạn giải bài toán tổng quát

Đăng lên luôn 

[lequangnghia]

Đăng lên luôn 

mình chưa mò ra............