Chủ đề này có 5 trả lời

[Lin Kon]

1. Cho $x;y$ không âm thỏa mãn $x^3+y^3+xy=x^2+y^2$

Tìm Min và Max của : $\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}$

2. Tìm $x,y,z$ bằng phương pháp BĐT

$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}=3$

3.$x,y$ thỏa mãn $x^2y^2+2y+1=0$. Tìm Min và Max của;

$\frac{xy}{3y+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lin Kon: 22-01-2016 - 18:07

[leminhnghiatt]

Bài 2: Dùng bđt $ab \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}$: $x\sqrt{1-y^2} \leq \dfrac{x^2+1-y^2}{2}; y\sqrt{2-z^2} \leq \dfrac{y+2-z^2}{2}; z\sqrt{3-x^2} \leq \dfrac{z^2+3-x^2}{2}$

 

Cộng các bđt lại ta có: $x\sqrt{1-y^2} +y\sqrt{2-z^2} + z\sqrt{3-x^2} \leq \dfrac{x^2+1-y^2}{2}+\dfrac{y^2+2-z^2}{2}+ \dfrac{z^2+3-x^2}{2}=3$

 

Dấu "=" có khi: $x^2+y^2=1$ ; $y^2+z^2=2$; $z^2+x^2=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 22-01-2016 - 18:18

[tpdtthltvp]

 

2. Tìm $x,y,z$ bằng phương pháp BĐT

 

Cách khác:

Áp dụng BĐT $schwarz$, ta có:

$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}\leq \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(6-x^2-y^2-z^2)}\leq \sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2+6-x^2-y^2-z^2)^2}{4}}=3$

[leminhnghiatt]

3.$x,y$ thỏa mãn $x^2y^2+2y+1=0$. Tìm Min và Max của;

$\frac{xy}{3y+1}$

ĐK: $y \not = \dfrac{-1}{3}$

 

Đặt $xy=a$ $\iff a^2+2y+1=0 \iff y=\dfrac{-a^2-1}{2}$

 

Thay vào: BT $\iff \dfrac{2a}{-3a^2-1}$

 

Đặt $\dfrac{-2a}{3a^2+1}=P$

 

$\iff -2a=3a^2P+P$

 

$\iff 3a^2P+2a+P=0$

 

Với $P=0 \iff a=0$

 

Với $P \not = 0 \iff \Delta'=1-3P^2$

 

Mà $\Delta \geq 0 \iff (1-P\sqrt{3})(1+P\sqrt{3}) \geq 0 \iff \dfrac{-1}{\sqrt{3}} \leq P \leq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

 

Vậy Min $=\dfrac{-1}{\sqrt{3}} \iff a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

 

Max$=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \iff a=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}$

 

Đến đây tìm đc $x,y$...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 22-01-2016 - 18:32

[I Love MC]

1) Gợi ý từ giả thiết ta có $(x+y)(x^2+y^2-xy)=(x^2+y^2-xy)$ 
Xét TH $x,y$ khác $0$ suy ra $x+y=1$
Xét TH $x=y=0$

[Lin Kon]

1) Gợi ý từ giả thiết ta có $(x+y)(x^2+y^2-xy)=(x^2+y^2-xy)$ 
Xét TH $x,y$ khác $0$ suy ra $x+y=1$
Xét TH $x=y=0$

Cái này thì có thể tự suy ra mà.....