ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN NĂM 2016
Trường Phổ Thông Năng Khiếu Môn: TOÁN
(Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề)
Ngày 23 tháng 01 năm 2016
Bài 1. (5 điểm)
1) Cho các số x,y thỏa $x^{2}y^{2}+2yx^{2}+1=0$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$A=\frac{2xy+2x+1}{x^{2}}-y(y+2)$
2) Cho a,b,c là 3 nghiệm thực của phương trình $x^{3}-3x^{2}-x+2=0$. P(x) là một đa thức bậc 3 thỏa
$\left\{\begin{matrix} P(a)=b+c\\ P(b)=c+a\\ P(c)=a+b\\ P(a+b+c)=2 \end{matrix}\right.$
Tính $P(16)$
Bài 2. (5 điểm) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 4 và a,b,c,d là các số nguyên.
Đặt $S_{k}=a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}$ với k$\in \mathbb{N}$.
Chứng minh nếu $S_{1}$ và $S_{3}$ chia hết cho p thì $S_{2015}$ cũng chia hết cho p.
Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Một điểm D thay đổi trên BC. Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD.
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJD luôn đi qua một điểm cố định
b) Gọi P,M là tiếp tuyến của (I) với AB,BC; gọi N,Q là tiếp tuyến của (J) với AC,BC. Gọi X là giao điểm của PM và NQ. Chứng minh XD vuông góc với IJ
Bài 4. (5 điểm): Cho dãy số $(a_{n})$ được xác định bởi: $a_{1}=1, a_{2}=4, a_{n}=2a_{n-1}-5a_{n-2}, \forall n \geqslant 3$.
a) Chứng minh rằng dãy số $(a_{n})$ chứa vô số số hạng là số dương và vô số số hạng là số âm.
b)Tìm tất cả số nguyên dương n để $a_{n}$ chia hết cho 19