Chủ đề này có 4 trả lời

[Tran Thanh Truong]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: 

$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

[NTA1907]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: 

$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

Bđt$\Leftrightarrow \sum (\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}-\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b})\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b)-(a^{2}+b^{2})(a+b+c)}{(a+b)(a+b+c)}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{c^{2}(a+b)-c(a^{2}+b^{2})}{(a+b)(a+b+c)}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ca(c-a)+bc(c-b)}{(a+b)(a+b+c)}\geq 0$

$\Leftrightarrow (\frac{ca(c-a)}{(a+b)(a+b+c)}+\frac{ca(a-c)}{(b+c)(a+b+c)})+(\frac{bc(b-c)}{(c+a)(a+b+c)}+\frac{bc(c-b)}{(a+b)(a+b+c)})+(\frac{ab(a-b)}{(b+c)(a+b+c)}+\frac{ab(b-a)}{(c+a)(a+b+c)})\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{ac(c-a)}{(a+b+c)}(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c})+\frac{bc(b-c)}{a+b+c}(\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b})+\frac{ab(a-b)}{a+b+c}(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a})\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{ca(c-a)^{2}}{(a+b+c)(a+b)(b+c)}+\frac{bc(b-c)^{2}}{(a+b+c)(c+a)(a+b)}+\frac{ab(a-b)^{2}}{(a+b+c)(b+c)(c+a)}\geq 0$(luôn đúng)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

[Tran Thanh Truong]

Bđt$\Leftrightarrow \sum (\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}-\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b})\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b)-(a^{2}+b^{2})(a+b+c)}{(a+b)(a+b+c)}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{c^{2}(a+b)-c(a^{2}+b^{2})}{(a+b)(a+b+c)}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ca(c-a)+bc(c-b)}{(a+b)(a+b+c)}\geq 0$

$\Leftrightarrow (\frac{ca(c-a)}{(a+b)(a+b+c)}+\frac{ca(a-c)}{(b+c)(a+b+c)})+(\frac{bc(b-c)}{(c+a)(a+b+c)}+\frac{bc(c-b)}{(a+b)(a+b+c)})+(\frac{ab(a-b)}{(b+c)(a+b+c)}+\frac{ab(b-a)}{(c+a)(a+b+c)})\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{ac(c-a)}{(a+b+c)}(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c})+\frac{bc(b-c)}{a+b+c}(\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b})+\frac{ab(a-b)}{a+b+c}(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a})\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{ca(c-a)^{2}}{(a+b+c)(a+b)(b+c)}+\frac{bc(b-c)^{2}}{(a+b+c)(c+a)(a+b)}+\frac{ab(a-b)^{2}}{(a+b+c)(b+c)(c+a)}\geq 0$(luôn đúng)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

Đây là phương pháp biến đổi tương đương hay S.O.S vậy bạn?

[NTA1907]

Đây là phương pháp biến đổi tương đương hay S.O.S vậy bạn?

Đây là tương đương bạn

[Nguyenhuyen_AG]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: 

$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

 

Chú ý rằng \[\frac{(a^2+b^2)(a+b+c)}{a+b}=a^2+b^2+bc+ca-\frac{2abc}{a+b},\] nên bất đẳng thức trên tương tương đương với \[a^2+b^2+c^2+2abc\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right ) \geqslant 2(ab+bc+ca).\] Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì \[\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geqslant \frac{9}{2(a+b+c)}.\] Do đó ta chỉ cần chứng \[a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c} \geqslant 2(ab+bc+ca).\] Hiển nhiên đúng vì nó là bất đẳng thức Schur bậc ba.

 

Nhận xét. Bất đẳng thức tương tự vẫn đúng \[\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2(a+b+c)}.\] Từ bài này ta có thể suy được một kết quả khá đẹp của Darij Grinberg \[\frac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^2(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c^2(a+b)}{a^2+b^2} \geqslant a+b+c.\]