Chủ đề này có 2 trả lời

[Coppy dera]

Cho $a,b,c >0$ và n là số nguyên dương. CMR :

$\frac{ab^n}{c^n(c+a)}+\frac{bc^n}{a^n(a+b)}+\frac{ca^n}{b^n(b+c)} \geq \frac{a}{c+a} + \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Coppy dera: 26-01-2016 - 16:13

[quoccuonglqd]

Đổi biến $(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})\rightarrow (x,y,z)$ với $xyz=1$

Ta cần chứng minh $\frac{y^{n}}{(z+1)}+\frac{z^{n}}{x+1}+\frac{x^{n}}{y+1}\geqslant \frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+x}$

Áp dụng AM-GM $\sum \frac{y^{n}}{1+z}+\frac{(n-1)}{1+z}\geqslant n\frac{y}{1+z}$

Bất đẳng thức trở thành $\sum \frac{y}{z+1}\geqslant \sum \frac{1}{1+z}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{y+z}{z+1}\geqslant 3$

Áp dụng AM-GM $\sum \frac{y+z}{z+1}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(x+1)(y+1)(z+1)}}$

Đổi biến $(x,y,z)\rightarrow (\frac{m^{2}}{np},\frac{n^{2}}{mp},\frac{p^{2}}{mn})$

Biến đổi bất đẳng thức thành $\sum m^{6}n^{3}+\sum m^{3}n^{6}\geqslant \sum m^{5}np+\sum m^{4}n^{4}p$(luôn đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 27-01-2016 - 09:37

[linhchi2014]

Cho $a,b,c >0$ và n là số nguyên dương. CMR :

$\frac{ab^n}{c^n(c+a)}+\frac{bc^n}{a^n(a+b)}+\frac{ca^n}{b^n(b+c)} \geq \frac{a}{c+a} + \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

$\sum \frac{y}{z+1}\geqslant \sum \frac{1}{z+1}\Leftrightarrow y(x+1)(y+1)+z(y+1)(z+1)+x(z+1)(x+1)\geqslant (x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)$$\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1))^2+(z-1))^2+(x+y+z-3)+(xy^2+yz^2+zx^2-3)\geqslant 0$(ap dụng BDT CÔSI là OK)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhchi2014: 27-01-2016 - 09:02